Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ablinvadd.b |
|- B = ( Base ` G ) |
2 |
|
ablinvadd.p |
|- .+ = ( +g ` G ) |
3 |
|
ablinvadd.n |
|- N = ( invg ` G ) |
4 |
|
ablgrp |
|- ( G e. Abel -> G e. Grp ) |
5 |
1 2 3
|
grpinvadd |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) |
6 |
4 5
|
syl3an1 |
|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) |
7 |
|
simp1 |
|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Abel ) |
8 |
4
|
3ad2ant1 |
|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> G e. Grp ) |
9 |
|
simp2 |
|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> X e. B ) |
10 |
1 3
|
grpinvcl |
|- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( N ` X ) e. B ) |
11 |
8 9 10
|
syl2anc |
|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` X ) e. B ) |
12 |
|
simp3 |
|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> Y e. B ) |
13 |
1 3
|
grpinvcl |
|- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B ) |
14 |
8 12 13
|
syl2anc |
|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` Y ) e. B ) |
15 |
1 2
|
ablcom |
|- ( ( G e. Abel /\ ( N ` X ) e. B /\ ( N ` Y ) e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) |
16 |
7 11 14 15
|
syl3anc |
|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) = ( ( N ` Y ) .+ ( N ` X ) ) ) |
17 |
6 16
|
eqtr4d |
|- ( ( G e. Abel /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( N ` ( X .+ Y ) ) = ( ( N ` X ) .+ ( N ` Y ) ) ) |