Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
vex |
|- u e. _V |
2 |
|
ax6e |
|- E. y y = v |
3 |
1 2
|
pm3.2i |
|- ( u e. _V /\ E. y y = v ) |
4 |
|
19.42v |
|- ( E. y ( u e. _V /\ y = v ) <-> ( u e. _V /\ E. y y = v ) ) |
5 |
4
|
biimpri |
|- ( ( u e. _V /\ E. y y = v ) -> E. y ( u e. _V /\ y = v ) ) |
6 |
3 5
|
ax-mp |
|- E. y ( u e. _V /\ y = v ) |
7 |
|
isset |
|- ( u e. _V <-> E. x x = u ) |
8 |
7
|
anbi1i |
|- ( ( u e. _V /\ y = v ) <-> ( E. x x = u /\ y = v ) ) |
9 |
8
|
exbii |
|- ( E. y ( u e. _V /\ y = v ) <-> E. y ( E. x x = u /\ y = v ) ) |
10 |
6 9
|
mpbi |
|- E. y ( E. x x = u /\ y = v ) |
11 |
|
id |
|- ( -. A. x x = y -> -. A. x x = y ) |
12 |
|
hbnae |
|- ( -. A. x x = y -> A. y -. A. x x = y ) |
13 |
|
hbn1 |
|- ( -. A. x x = y -> A. x -. A. x x = y ) |
14 |
|
ax-5 |
|- ( z = v -> A. x z = v ) |
15 |
|
ax-5 |
|- ( y = v -> A. z y = v ) |
16 |
|
id |
|- ( z = y -> z = y ) |
17 |
|
equequ1 |
|- ( z = y -> ( z = v <-> y = v ) ) |
18 |
17
|
a1i |
|- ( ( z = y -> z = y ) -> ( z = y -> ( z = v <-> y = v ) ) ) |
19 |
16 18
|
ax-mp |
|- ( z = y -> ( z = v <-> y = v ) ) |
20 |
14 15 19
|
dvelimh |
|- ( -. A. x x = y -> ( y = v -> A. x y = v ) ) |
21 |
11 20
|
syl |
|- ( -. A. x x = y -> ( y = v -> A. x y = v ) ) |
22 |
21
|
idiALT |
|- ( -. A. x x = y -> ( y = v -> A. x y = v ) ) |
23 |
22
|
alimi |
|- ( A. x -. A. x x = y -> A. x ( y = v -> A. x y = v ) ) |
24 |
13 23
|
syl |
|- ( -. A. x x = y -> A. x ( y = v -> A. x y = v ) ) |
25 |
11 24
|
syl |
|- ( -. A. x x = y -> A. x ( y = v -> A. x y = v ) ) |
26 |
|
19.41rg |
|- ( A. x ( y = v -> A. x y = v ) -> ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) ) |
27 |
25 26
|
syl |
|- ( -. A. x x = y -> ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) ) |
28 |
27
|
idiALT |
|- ( -. A. x x = y -> ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) ) |
29 |
28
|
alimi |
|- ( A. y -. A. x x = y -> A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) ) |
30 |
12 29
|
syl |
|- ( -. A. x x = y -> A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) ) |
31 |
11 30
|
syl |
|- ( -. A. x x = y -> A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) ) |
32 |
|
exim |
|- ( A. y ( ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. x ( x = u /\ y = v ) ) -> ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) ) |
33 |
31 32
|
syl |
|- ( -. A. x x = y -> ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) ) |
34 |
|
pm3.35 |
|- ( ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) /\ ( E. y ( E. x x = u /\ y = v ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) ) -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) |
35 |
10 33 34
|
sylancr |
|- ( -. A. x x = y -> E. y E. x ( x = u /\ y = v ) ) |
36 |
|
excomim |
|- ( E. y E. x ( x = u /\ y = v ) -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) |
37 |
35 36
|
syl |
|- ( -. A. x x = y -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) |
38 |
37
|
idiALT |
|- ( -. A. x x = y -> E. x E. y ( x = u /\ y = v ) ) |