Theorem axgroth5

Description: The Tarski-Grothendieck axiom using abbreviations. (Contributed by NM, 22-Jun-2009)

	Ref	Expression
Assertion	axgroth5	|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-groth	|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
2		biid	|- ( x e. y <-> x e. y )
3		pwss	|- ( ~P z C_ y <-> A. w ( w C_ z -> w e. y ) )
4		pwss	|- ( ~P z C_ w <-> A. v ( v C_ z -> v e. w ) )
5	4	rexbii	|- ( E. w e. y ~P z C_ w <-> E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) )
6	3 5	anbi12i	|- ( ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) <-> ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) )
7	6	ralbii	|- ( A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) <-> A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) )
8		df-ral	|- ( A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) <-> A. z ( z e. ~P y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
9		velpw	|- ( z e. ~P y <-> z C_ y )
10	9	imbi1i	|- ( ( z e. ~P y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
11	10	albii	|- ( A. z ( z e. ~P y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
12	8 11	bitri	|- ( A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) <-> A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) )
13	2 7 12	3anbi123i	|- ( ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) )
14	13	exbii	|- ( E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) ) <-> E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( A. w ( w C_ z -> w e. y ) /\ E. w e. y A. v ( v C_ z -> v e. w ) ) /\ A. z ( z C_ y -> ( z ~~ y \/ z e. y ) ) ) )
15	1 14	mpbir	|- E. y ( x e. y /\ A. z e. y ( ~P z C_ y /\ E. w e. y ~P z C_ w ) /\ A. z e. ~P y ( z ~~ y \/ z e. y ) )