Theorem axtgcont1

Description: Axiom of Continuity. Axiom A11 of Schwabhauser p. 13. This axiom (scheme) asserts that any two sets S and T (of points) such that the elements of S precede the elements of T with respect to some point a (that is, x is between a and y whenever x is in X and y is in Y ) are separated by some point b ; this is explained in Axiom 11 of Tarski1999 p. 185. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Mar-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	axtrkg.p	|- P = ( Base ` G )
	axtrkg.d	|- .- = ( dist ` G )
	axtrkg.i	|- I = ( Itv ` G )
	axtrkg.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
	axtgcont.1	|- ( ph -> S C_ P )
	axtgcont.2	|- ( ph -> T C_ P )
Assertion	axtgcont1	|- ( ph -> ( E. a e. P A. x e. S A. y e. T x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. S A. y e. T b e. ( x I y ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axtrkg.p	|- P = ( Base ` G )
2		axtrkg.d	|- .- = ( dist ` G )
3		axtrkg.i	|- I = ( Itv ` G )
4		axtrkg.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
5		axtgcont.1	|- ( ph -> S C_ P )
6		axtgcont.2	|- ( ph -> T C_ P )
7		df-trkg	|- TarskiG = ( ( TarskiGC i^i TarskiGB ) i^i ( TarskiGCB i^i { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( Itv ` f ) / i ]. ( LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) } ) )
8		inss1	|- ( ( TarskiGC i^i TarskiGB ) i^i ( TarskiGCB i^i { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( Itv ` f ) / i ]. ( LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) } ) ) C_ ( TarskiGC i^i TarskiGB )
9		inss2	|- ( TarskiGC i^i TarskiGB ) C_ TarskiGB
10	8 9	sstri	|- ( ( TarskiGC i^i TarskiGB ) i^i ( TarskiGCB i^i { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( Itv ` f ) / i ]. ( LineG ` f ) = ( x e. p , y e. ( p \ { x } ) |-> { z e. p | ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) } ) } ) ) C_ TarskiGB
11	7 10	eqsstri	|- TarskiG C_ TarskiGB
12	11 4	sseldi	|- ( ph -> G e. TarskiGB )
13	1 2 3	istrkgb	|- ( G e. TarskiGB <-> ( G e. _V /\ ( A. x e. P A. y e. P ( y e. ( x I x ) -> x = y ) /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I z ) /\ v e. ( y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I x ) ) ) /\ A. s e. ~P P A. t e. ~P P ( E. a e. P A. x e. s A. y e. t x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. s A. y e. t b e. ( x I y ) ) ) ) )
14	13	simprbi	|- ( G e. TarskiGB -> ( A. x e. P A. y e. P ( y e. ( x I x ) -> x = y ) /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( u e. ( x I z ) /\ v e. ( y I z ) ) -> E. a e. P ( a e. ( u I y ) /\ a e. ( v I x ) ) ) /\ A. s e. ~P P A. t e. ~P P ( E. a e. P A. x e. s A. y e. t x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. s A. y e. t b e. ( x I y ) ) ) )
15	14	simp3d	|- ( G e. TarskiGB -> A. s e. ~P P A. t e. ~P P ( E. a e. P A. x e. s A. y e. t x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. s A. y e. t b e. ( x I y ) ) )
16	12 15	syl	|- ( ph -> A. s e. ~P P A. t e. ~P P ( E. a e. P A. x e. s A. y e. t x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. s A. y e. t b e. ( x I y ) ) )
17	1	fvexi	|- P e. _V
18	17	ssex	|- ( S C_ P -> S e. _V )
19		elpwg	|- ( S e. _V -> ( S e. ~P P <-> S C_ P ) )
20	5 18 19	3syl	|- ( ph -> ( S e. ~P P <-> S C_ P ) )
21	5 20	mpbird	|- ( ph -> S e. ~P P )
22	17	ssex	|- ( T C_ P -> T e. _V )
23		elpwg	|- ( T e. _V -> ( T e. ~P P <-> T C_ P ) )
24	6 22 23	3syl	|- ( ph -> ( T e. ~P P <-> T C_ P ) )
25	6 24	mpbird	|- ( ph -> T e. ~P P )
26		raleq	|- ( s = S -> ( A. x e. s A. y e. t x e. ( a I y ) <-> A. x e. S A. y e. t x e. ( a I y ) ) )
27	26	rexbidv	|- ( s = S -> ( E. a e. P A. x e. s A. y e. t x e. ( a I y ) <-> E. a e. P A. x e. S A. y e. t x e. ( a I y ) ) )
28		raleq	|- ( s = S -> ( A. x e. s A. y e. t b e. ( x I y ) <-> A. x e. S A. y e. t b e. ( x I y ) ) )
29	28	rexbidv	|- ( s = S -> ( E. b e. P A. x e. s A. y e. t b e. ( x I y ) <-> E. b e. P A. x e. S A. y e. t b e. ( x I y ) ) )
30	27 29	imbi12d	|- ( s = S -> ( ( E. a e. P A. x e. s A. y e. t x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. s A. y e. t b e. ( x I y ) ) <-> ( E. a e. P A. x e. S A. y e. t x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. S A. y e. t b e. ( x I y ) ) ) )
31		raleq	|- ( t = T -> ( A. y e. t x e. ( a I y ) <-> A. y e. T x e. ( a I y ) ) )
32	31	rexralbidv	|- ( t = T -> ( E. a e. P A. x e. S A. y e. t x e. ( a I y ) <-> E. a e. P A. x e. S A. y e. T x e. ( a I y ) ) )
33		raleq	|- ( t = T -> ( A. y e. t b e. ( x I y ) <-> A. y e. T b e. ( x I y ) ) )
34	33	rexralbidv	|- ( t = T -> ( E. b e. P A. x e. S A. y e. t b e. ( x I y ) <-> E. b e. P A. x e. S A. y e. T b e. ( x I y ) ) )
35	32 34	imbi12d	|- ( t = T -> ( ( E. a e. P A. x e. S A. y e. t x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. S A. y e. t b e. ( x I y ) ) <-> ( E. a e. P A. x e. S A. y e. T x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. S A. y e. T b e. ( x I y ) ) ) )
36	30 35	rspc2v	|- ( ( S e. ~P P /\ T e. ~P P ) -> ( A. s e. ~P P A. t e. ~P P ( E. a e. P A. x e. s A. y e. t x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. s A. y e. t b e. ( x I y ) ) -> ( E. a e. P A. x e. S A. y e. T x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. S A. y e. T b e. ( x I y ) ) ) )
37	21 25 36	syl2anc	|- ( ph -> ( A. s e. ~P P A. t e. ~P P ( E. a e. P A. x e. s A. y e. t x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. s A. y e. t b e. ( x I y ) ) -> ( E. a e. P A. x e. S A. y e. T x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. S A. y e. T b e. ( x I y ) ) ) )
38	16 37	mpd	|- ( ph -> ( E. a e. P A. x e. S A. y e. T x e. ( a I y ) -> E. b e. P A. x e. S A. y e. T b e. ( x I y ) ) )