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Theorem ballotlemrc

Description: Range of R . (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Apr-2017)

Ref Expression
Hypotheses ballotth.m 
|- M e. NN
ballotth.n 
|- N e. NN
ballotth.o 
|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p 
|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f 
|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e 
|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn 
|- N < M
ballotth.i 
|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s 
|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotth.r 
|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
Assertion ballotlemrc 
|- ( C e. ( O \ E ) -> ( R ` C ) e. ( O \ E ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ballotth.m 
 |-  M e. NN
2 ballotth.n 
 |-  N e. NN
3 ballotth.o 
 |-  O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4 ballotth.p 
 |-  P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5 ballotth.f 
 |-  F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6 ballotth.e 
 |-  E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7 ballotth.mgtn 
 |-  N < M
8 ballotth.i 
 |-  I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
9 ballotth.s 
 |-  S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10 ballotth.r 
 |-  R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ballotlemro 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( R ` C ) e. O )
12 1 2 3 4 5 6 7 8 ballotlemiex 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
13 12 simpld 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
14 eqid 
 |-  ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) ) = ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) )
15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 ballotlemfrci 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` ( I ` C ) ) = 0 )
16 0le0 
 |-  0 <_ 0
17 15 16 eqbrtrdi 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` ( I ` C ) ) <_ 0 )
18 fveq2 
 |-  ( i = ( I ` C ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` i ) = ( ( F ` ( R ` C ) ) ` ( I ` C ) ) )
19 18 breq1d 
 |-  ( i = ( I ` C ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` ( I ` C ) ) <_ 0 ) )
20 19 rspcev 
 |-  ( ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` ( R ` C ) ) ` ( I ` C ) ) <_ 0 ) -> E. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ( ( F ` ( R ` C ) ) ` i ) <_ 0 )
21 13 17 20 syl2anc 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> E. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ( ( F ` ( R ` C ) ) ` i ) <_ 0 )
22 1 2 3 4 5 6 ballotlemodife 
 |-  ( ( R ` C ) e. ( O \ E ) <-> ( ( R ` C ) e. O /\ E. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) ( ( F ` ( R ` C ) ) ` i ) <_ 0 ) )
23 11 21 22 sylanbrc 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( R ` C ) e. ( O \ E ) )