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Theorem ballotlemirc

Description: Applying R does not change first ties. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Apr-2017) (Revised by AV, 6-Oct-2020)

Ref Expression
Hypotheses ballotth.m 
|- M e. NN
ballotth.n 
|- N e. NN
ballotth.o 
|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p 
|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f 
|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotth.e 
|- E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
ballotth.mgtn 
|- N < M
ballotth.i 
|- I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
ballotth.s 
|- S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
ballotth.r 
|- R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
Assertion ballotlemirc 
|- ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` ( R ` C ) ) = ( I ` C ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ballotth.m 
 |-  M e. NN
2 ballotth.n 
 |-  N e. NN
3 ballotth.o 
 |-  O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
4 ballotth.p 
 |-  P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
5 ballotth.f 
 |-  F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
6 ballotth.e 
 |-  E = { c e. O | A. i e. ( 1 ... ( M + N ) ) 0 < ( ( F ` c ) ` i ) }
7 ballotth.mgtn 
 |-  N < M
8 ballotth.i 
 |-  I = ( c e. ( O \ E ) |-> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` c ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
9 ballotth.s 
 |-  S = ( c e. ( O \ E ) |-> ( i e. ( 1 ... ( M + N ) ) |-> if ( i <_ ( I ` c ) , ( ( ( I ` c ) + 1 ) - i ) , i ) ) )
10 ballotth.r 
 |-  R = ( c e. ( O \ E ) |-> ( ( S ` c ) " c ) )
11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ballotlemrc 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( R ` C ) e. ( O \ E ) )
12 1 2 3 4 5 6 7 8 ballotlemi 
 |-  ( ( R ` C ) e. ( O \ E ) -> ( I ` ( R ` C ) ) = inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
13 11 12 syl 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` ( R ` C ) ) = inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } , RR , < ) )
14 ltso 
 |-  < Or RR
15 14 a1i 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> < Or RR )
16 1 2 3 4 5 6 7 8 ballotlemiex 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
17 16 simpld 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
18 elfzelz 
 |-  ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
19 17 18 syl 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. ZZ )
20 19 zred 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. RR )
21 eqid 
 |-  ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) ) = ( u e. Fin , v e. Fin |-> ( ( # ` ( v i^i u ) ) - ( # ` ( v \ u ) ) ) )
22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21 ballotlemfrci 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` ( I ` C ) ) = 0 )
23 fveqeq2 
 |-  ( k = ( I ` C ) -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 <-> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
24 23 elrab 
 |-  ( ( I ` C ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } <-> ( ( I ` C ) e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` ( R ` C ) ) ` ( I ` C ) ) = 0 ) )
25 17 22 24 sylanbrc 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` C ) e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } )
26 elrabi 
 |-  ( y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } -> y e. ( 1 ... ( M + N ) ) )
27 26 anim2i 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } ) -> ( C e. ( O \ E ) /\ y e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) )
28 simpr 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ y e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ y < ( I ` C ) ) -> y < ( I ` C ) )
29 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ballotlemfrcn0 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ y e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ y < ( I ` C ) ) -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` y ) =/= 0 )
30 29 neneqd 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ y e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ y < ( I ` C ) ) -> -. ( ( F ` ( R ` C ) ) ` y ) = 0 )
31 fveqeq2 
 |-  ( k = y -> ( ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 <-> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` y ) = 0 ) )
32 31 elrab 
 |-  ( y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } <-> ( y e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ ( ( F ` ( R ` C ) ) ` y ) = 0 ) )
33 32 simprbi 
 |-  ( y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } -> ( ( F ` ( R ` C ) ) ` y ) = 0 )
34 30 33 nsyl 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ y e. ( 1 ... ( M + N ) ) /\ y < ( I ` C ) ) -> -. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } )
35 34 3expa 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ y e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ y < ( I ` C ) ) -> -. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } )
36 28 35 syldan 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ y e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ y < ( I ` C ) ) -> -. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } )
37 36 ex 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ y e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( y < ( I ` C ) -> -. y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } ) )
38 37 con2d 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ y e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) -> ( y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } -> -. y < ( I ` C ) ) )
39 38 imp 
 |-  ( ( ( C e. ( O \ E ) /\ y e. ( 1 ... ( M + N ) ) ) /\ y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } ) -> -. y < ( I ` C ) )
40 27 39 sylancom 
 |-  ( ( C e. ( O \ E ) /\ y e. { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } ) -> -. y < ( I ` C ) )
41 15 20 25 40 infmin 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> inf ( { k e. ( 1 ... ( M + N ) ) | ( ( F ` ( R ` C ) ) ` k ) = 0 } , RR , < ) = ( I ` C ) )
42 13 41 eqtrd 
 |-  ( C e. ( O \ E ) -> ( I ` ( R ` C ) ) = ( I ` C ) )