Theorem brsslt

Description: Binary relation form of the surreal set less-than relation. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021)

	Ref	Expression
Assertion	brsslt	|- ( A < ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ ( A C_ No /\ B C_ No /\ A. x e. A A. y e. B x

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-sslt	|- <. | ( a C_ No /\ b C_ No /\ A. x e. a A. y e. b x
2	1	bropaex12	|- ( A < ( A e. _V /\ B e. _V ) )
3		sseq1	|- ( a = A -> ( a C_ No <-> A C_ No ) )
4		raleq	|- ( a = A -> ( A. x e. a A. y e. b x A. x e. A A. y e. b x
5	3 4	3anbi13d	|- ( a = A -> ( ( a C_ No /\ b C_ No /\ A. x e. a A. y e. b x ( A C_ No /\ b C_ No /\ A. x e. A A. y e. b x
6		sseq1	|- ( b = B -> ( b C_ No <-> B C_ No ) )
7		raleq	|- ( b = B -> ( A. y e. b x A. y e. B x
8	7	ralbidv	|- ( b = B -> ( A. x e. A A. y e. b x A. x e. A A. y e. B x
9	6 8	3anbi23d	|- ( b = B -> ( ( A C_ No /\ b C_ No /\ A. x e. A A. y e. b x ( A C_ No /\ B C_ No /\ A. x e. A A. y e. B x
10	5 9 1	brabg	|- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A < ( A C_ No /\ B C_ No /\ A. x e. A A. y e. B x
11	2 10	biadanii	|- ( A < ( ( A e. _V /\ B e. _V ) /\ ( A C_ No /\ B C_ No /\ A. x e. A A. y e. B x