Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemc3.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdlemc3.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdlemc3.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdlemc3.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdlemc3.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdlemc3.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
7 |
|
cdlemc3.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
8 |
|
simpll |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> K e. HL ) |
9 |
|
simpl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
10 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> F e. T ) |
11 |
|
simpr2l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> P e. A ) |
12 |
1 4 5 6
|
ltrnat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. A ) -> ( F ` P ) e. A ) |
13 |
9 10 11 12
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( F ` P ) e. A ) |
14 |
|
simpr3l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> Q e. A ) |
15 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
16 |
15 5 6 7
|
trlcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) ) |
17 |
10 16
|
syldan |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) ) |
18 |
1 4 5 6
|
ltrnel |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) ) |
19 |
18
|
3adant3r3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) ) |
20 |
1 4 5 6 7
|
trlnle |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( ( F ` P ) e. A /\ -. ( F ` P ) .<_ W ) ) -> -. ( F ` P ) .<_ ( R ` F ) ) |
21 |
9 10 19 20
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> -. ( F ` P ) .<_ ( R ` F ) ) |
22 |
15 1 2 4
|
hlexch2 |
|- ( ( K e. HL /\ ( ( F ` P ) e. A /\ Q e. A /\ ( R ` F ) e. ( Base ` K ) ) /\ -. ( F ` P ) .<_ ( R ` F ) ) -> ( ( F ` P ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) -> Q .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( R ` F ) ) ) ) |
23 |
8 13 14 17 21 22
|
syl131anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` P ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) -> Q .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( R ` F ) ) ) ) |
24 |
1 2 4 5 6 7
|
trljat2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( R ` F ) ) = ( P .\/ ( F ` P ) ) ) |
25 |
24
|
3adant3r3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` P ) .\/ ( R ` F ) ) = ( P .\/ ( F ` P ) ) ) |
26 |
25
|
breq2d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( Q .<_ ( ( F ` P ) .\/ ( R ` F ) ) <-> Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) |
27 |
23 26
|
sylibd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) -> ( ( F ` P ) .<_ ( Q .\/ ( R ` F ) ) -> Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) |