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## Theorem cdlemd7

Description: Part of proof of Lemma D in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 1-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdlemd4.l
`|- .<_ = ( le ` K )`
cdlemd4.j
`|- .\/ = ( join ` K )`
cdlemd4.a
`|- A = ( Atoms ` K )`
cdlemd4.h
`|- H = ( LHyp ` K )`
cdlemd4.t
`|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )`
Assertion cdlemd7
`|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )`

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemd4.l
` |-  .<_ = ( le ` K )`
2 cdlemd4.j
` |-  .\/ = ( join ` K )`
3 cdlemd4.a
` |-  A = ( Atoms ` K )`
4 cdlemd4.h
` |-  H = ( LHyp ` K )`
5 cdlemd4.t
` |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )`
6 simp1
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) )`
7 simp2l
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )`
8 simp2r
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )`
9 simp11l
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> K e. HL )`
10 9 hllatd
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> K e. Lat )`
11 simp2rl
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> Q e. A )`
12 eqid
` |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )`
13 12 3 atbase
` |-  ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) )`
14 11 13 syl
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )`
15 simp2ll
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> P e. A )`
16 12 3 atbase
` |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )`
17 15 16 syl
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) )`
18 simp11
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )`
19 simp12l
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> F e. T )`
20 12 4 5 ltrncl
` |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ P e. ( Base ` K ) ) -> ( F ` P ) e. ( Base ` K ) )`
21 18 19 17 20 syl3anc
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` P ) e. ( Base ` K ) )`
22 simp3r
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) )`
23 12 1 2 latnlej1l
` |-  ( ( K e. Lat /\ ( Q e. ( Base ` K ) /\ P e. ( Base ` K ) /\ ( F ` P ) e. ( Base ` K ) ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) -> Q =/= P )`
24 23 necomd
` |-  ( ( K e. Lat /\ ( Q e. ( Base ` K ) /\ P e. ( Base ` K ) /\ ( F ` P ) e. ( Base ` K ) ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) -> P =/= Q )`
25 10 14 17 21 22 24 syl131anc
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> P =/= Q )`
26 simp3l
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` P ) = ( G ` P ) )`
27 simp12
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F e. T /\ G e. T ) )`
28 1 2 3 4 5 cdlemd6
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) /\ ( F ` P ) = ( G ` P ) ) -> ( F ` Q ) = ( G ` Q ) )`
29 18 27 7 8 22 26 28 syl231anc
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` Q ) = ( G ` Q ) )`
30 1 2 3 4 5 cdlemd5
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ P =/= Q ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ ( F ` Q ) = ( G ` Q ) ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )`
31 6 7 8 25 26 29 30 syl132anc
` |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ R e. A ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( F ` P ) = ( G ` P ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ ( F ` P ) ) ) ) -> ( F ` R ) = ( G ` R ) )`