Theorem cdleme0aa

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. (Contributed by NM, 14-Jun-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdleme0.l	|- .<_ = ( le ` K )
	cdleme0.j	|- .\/ = ( join ` K )
	cdleme0.m	|- ./\ = ( meet ` K )
	cdleme0.a	|- A = ( Atoms ` K )
	cdleme0.h	|- H = ( LHyp ` K )
	cdleme0.u	|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
	cdleme0.b	|- B = ( Base ` K )
Assertion	cdleme0aa	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> U e. B )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdleme0.l	|- .<_ = ( le ` K )
2		cdleme0.j	|- .\/ = ( join ` K )
3		cdleme0.m	|- ./\ = ( meet ` K )
4		cdleme0.a	|- A = ( Atoms ` K )
5		cdleme0.h	|- H = ( LHyp ` K )
6		cdleme0.u	|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
7		cdleme0.b	|- B = ( Base ` K )
8		simp1l	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> K e. HL )
9	8	hllatd	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> K e. Lat )
10	7 4	atbase	|- ( P e. A -> P e. B )
11	10	3ad2ant2	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> P e. B )
12	7 4	atbase	|- ( Q e. A -> Q e. B )
13	12	3ad2ant3	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> Q e. B )
14	7 2	latjcl	|- ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ Q e. B ) -> ( P .\/ Q ) e. B )
15	9 11 13 14	syl3anc	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. B )
16		simp1r	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> W e. H )
17	7 5	lhpbase	|- ( W e. H -> W e. B )
18	16 17	syl	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> W e. B )
19	7 3	latmcl	|- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. B )
20	9 15 18 19	syl3anc	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. B )
21	6 20	eqeltrid	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> U e. B )