Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme12.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdleme12.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdleme12.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdleme12.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdleme12.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdleme12.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
7 |
|
cdleme12.f |
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) |
8 |
|
cdleme12.g |
|- G = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) |
9 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
cdleme12 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( S .\/ F ) ./\ ( T .\/ G ) ) = U ) |
10 |
9 6
|
eqtrdi |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( S .\/ F ) ./\ ( T .\/ G ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) |
11 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> K e. HL ) |
12 |
11
|
hllatd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> K e. Lat ) |
13 |
|
simp21l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> P e. A ) |
14 |
|
simp22 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> Q e. A ) |
15 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
16 |
15 2 4
|
hlatjcl |
|- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) |
17 |
11 13 14 16
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) |
18 |
|
simp1r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> W e. H ) |
19 |
15 5
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) ) |
20 |
18 19
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> W e. ( Base ` K ) ) |
21 |
15 1 3
|
latmle1 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ ( P .\/ Q ) ) |
22 |
12 17 20 21
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) .<_ ( P .\/ Q ) ) |
23 |
10 22
|
eqbrtrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ ( S =/= T /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> ( ( S .\/ F ) ./\ ( T .\/ G ) ) .<_ ( P .\/ Q ) ) |