Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemg8.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdlemg8.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdlemg8.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdlemg8.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdlemg8.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdlemg8.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
7 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
8 |
|
simp2r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
9 |
|
simp2l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
10 |
|
simp31 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> F e. T ) |
11 |
|
simp32 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> G e. T ) |
12 |
|
simp33 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) |
13 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL ) |
14 |
|
simp2ll |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A ) |
15 |
1 4 5 6
|
ltrncoat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ P e. A ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A ) |
16 |
7 10 11 14 15
|
syl121anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A ) |
17 |
|
simp2rl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. A ) |
18 |
1 4 5 6
|
ltrncoat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ Q e. A ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) e. A ) |
19 |
7 10 11 17 18
|
syl121anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) e. A ) |
20 |
2 4
|
hlatjcom |
|- ( ( K e. HL /\ ( F ` ( G ` P ) ) e. A /\ ( F ` ( G ` Q ) ) e. A ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ) |
21 |
13 16 19 20
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) = ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ) |
22 |
2 4
|
hlatjcom |
|- ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) = ( Q .\/ P ) ) |
23 |
13 14 17 22
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( Q .\/ P ) ) |
24 |
12 21 23
|
3netr3d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) =/= ( Q .\/ P ) ) |
25 |
1 2 3 4 5 6
|
cdlemg11a |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) =/= ( Q .\/ P ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) =/= Q ) |
26 |
7 8 9 10 11 24 25
|
syl123anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) =/= ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) =/= Q ) |