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Theorem cdlemg10c

Description: TODO: FIX COMMENT. TODO: Can this be moved up as a stand-alone theorem in trl* area? (Contributed by NM, 4-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg8.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg8.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg8.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemg8.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg8.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg8.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg10.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
Assertion cdlemg10c 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( R ` F ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) <-> ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg8.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg8.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdlemg8.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdlemg8.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemg8.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemg8.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemg10.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> F e. T )
10 1 5 6 7 trlle 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) .<_ W )
11 8 9 10 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( R ` F ) .<_ W )
12 11 biantrud 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( R ` F ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) <-> ( ( R ` F ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) /\ ( R ` F ) .<_ W ) ) )
13 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> K e. HL )
14 13 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> K e. Lat )
15 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
16 15 5 6 7 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) )
17 8 9 16 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( R ` F ) e. ( Base ` K ) )
18 simp3r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> G e. T )
19 simp2ll 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> P e. A )
20 1 4 5 6 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ P e. A ) -> ( G ` P ) e. A )
21 8 18 19 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( G ` P ) e. A )
22 simp2rl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> Q e. A )
23 1 4 5 6 ltrnat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ Q e. A ) -> ( G ` Q ) e. A )
24 8 18 22 23 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( G ` Q ) e. A )
25 15 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( G ` P ) e. A /\ ( G ` Q ) e. A ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) e. ( Base ` K ) )
26 13 21 24 25 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) e. ( Base ` K ) )
27 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> W e. H )
28 15 5 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) )
29 27 28 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> W e. ( Base ` K ) )
30 15 1 3 latlem12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( R ` F ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( ( R ` F ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) /\ ( R ` F ) .<_ W ) <-> ( R ` F ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) ) )
31 14 17 26 29 30 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( ( R ` F ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) /\ ( R ` F ) .<_ W ) <-> ( R ` F ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) ) )
32 15 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
33 13 19 22 32 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
34 15 1 3 latlem12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( R ` F ) e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ W e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( R ` F ) .<_ W ) <-> ( R ` F ) .<_ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )
35 14 17 33 29 34 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( R ` F ) .<_ W ) <-> ( R ` F ) .<_ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )
36 11 biantrud 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) <-> ( ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) /\ ( R ` F ) .<_ W ) ) )
37 1 2 3 4 5 6 cdlemg10b 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ G e. T ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) )
38 37 3adant3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) )
39 38 breq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( R ` F ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) <-> ( R ` F ) .<_ ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) ) )
40 35 36 39 3bitr4rd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( R ` F ) .<_ ( ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) <-> ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) ) )
41 12 31 40 3bitrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) ) -> ( ( R ` F ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) <-> ( R ` F ) .<_ ( P .\/ Q ) ) )