Theorem ceqsrex2v

Description: Elimination of a restricted existential quantifier, using implicit substitution. (Contributed by NM, 29-Oct-2005)

	Ref	Expression
Hypotheses	ceqsrex2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
	ceqsrex2v.2	|- ( y = B -> ( ps <-> ch ) )
Assertion	ceqsrex2v	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( E. x e. C E. y e. D ( ( x = A /\ y = B ) /\ ph ) <-> ch ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ceqsrex2v.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
2		ceqsrex2v.2	|- ( y = B -> ( ps <-> ch ) )
3		anass	|- ( ( ( x = A /\ y = B ) /\ ph ) <-> ( x = A /\ ( y = B /\ ph ) ) )
4	3	rexbii	|- ( E. y e. D ( ( x = A /\ y = B ) /\ ph ) <-> E. y e. D ( x = A /\ ( y = B /\ ph ) ) )
5		r19.42v	|- ( E. y e. D ( x = A /\ ( y = B /\ ph ) ) <-> ( x = A /\ E. y e. D ( y = B /\ ph ) ) )
6	4 5	bitri	|- ( E. y e. D ( ( x = A /\ y = B ) /\ ph ) <-> ( x = A /\ E. y e. D ( y = B /\ ph ) ) )
7	6	rexbii	|- ( E. x e. C E. y e. D ( ( x = A /\ y = B ) /\ ph ) <-> E. x e. C ( x = A /\ E. y e. D ( y = B /\ ph ) ) )
8	1	anbi2d	|- ( x = A -> ( ( y = B /\ ph ) <-> ( y = B /\ ps ) ) )
9	8	rexbidv	|- ( x = A -> ( E. y e. D ( y = B /\ ph ) <-> E. y e. D ( y = B /\ ps ) ) )
10	9	ceqsrexv	|- ( A e. C -> ( E. x e. C ( x = A /\ E. y e. D ( y = B /\ ph ) ) <-> E. y e. D ( y = B /\ ps ) ) )
11	7 10	bitrid	|- ( A e. C -> ( E. x e. C E. y e. D ( ( x = A /\ y = B ) /\ ph ) <-> E. y e. D ( y = B /\ ps ) ) )
12	2	ceqsrexv	|- ( B e. D -> ( E. y e. D ( y = B /\ ps ) <-> ch ) )
13	11 12	sylan9bb	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> ( E. x e. C E. y e. D ( ( x = A /\ y = B ) /\ ph ) <-> ch ) )