Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cldval.1 |
|- X = U. J |
2 |
1
|
topopn |
|- ( J e. Top -> X e. J ) |
3 |
|
pwexg |
|- ( X e. J -> ~P X e. _V ) |
4 |
|
mptexg |
|- ( ~P X e. _V -> ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V ) |
5 |
2 3 4
|
3syl |
|- ( J e. Top -> ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V ) |
6 |
|
unieq |
|- ( j = J -> U. j = U. J ) |
7 |
6 1
|
eqtr4di |
|- ( j = J -> U. j = X ) |
8 |
7
|
pweqd |
|- ( j = J -> ~P U. j = ~P X ) |
9 |
|
fveq2 |
|- ( j = J -> ( Clsd ` j ) = ( Clsd ` J ) ) |
10 |
9
|
rabeqdv |
|- ( j = J -> { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) |
11 |
10
|
inteqd |
|- ( j = J -> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } = |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) |
12 |
8 11
|
mpteq12dv |
|- ( j = J -> ( x e. ~P U. j |-> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) ) |
13 |
|
df-cls |
|- cls = ( j e. Top |-> ( x e. ~P U. j |-> |^| { y e. ( Clsd ` j ) | x C_ y } ) ) |
14 |
12 13
|
fvmptg |
|- ( ( J e. Top /\ ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) e. _V ) -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) ) |
15 |
5 14
|
mpdan |
|- ( J e. Top -> ( cls ` J ) = ( x e. ~P X |-> |^| { y e. ( Clsd ` J ) | x C_ y } ) ) |