Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cncfshiftioo.a |
|- ( ph -> A e. RR ) |
2 |
|
cncfshiftioo.b |
|- ( ph -> B e. RR ) |
3 |
|
cncfshiftioo.c |
|- C = ( A (,) B ) |
4 |
|
cncfshiftioo.t |
|- ( ph -> T e. RR ) |
5 |
|
cncfshiftioo.d |
|- D = ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) |
6 |
|
cncfshiftioo.f |
|- ( ph -> F e. ( C -cn-> CC ) ) |
7 |
|
cncfshiftioo.g |
|- G = ( x e. D |-> ( F ` ( x - T ) ) ) |
8 |
|
ioosscn |
|- ( A (,) B ) C_ CC |
9 |
8
|
a1i |
|- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC ) |
10 |
4
|
recnd |
|- ( ph -> T e. CC ) |
11 |
|
eqeq1 |
|- ( w = x -> ( w = ( z + T ) <-> x = ( z + T ) ) ) |
12 |
11
|
rexbidv |
|- ( w = x -> ( E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) <-> E. z e. ( A (,) B ) x = ( z + T ) ) ) |
13 |
|
oveq1 |
|- ( z = y -> ( z + T ) = ( y + T ) ) |
14 |
13
|
eqeq2d |
|- ( z = y -> ( x = ( z + T ) <-> x = ( y + T ) ) ) |
15 |
14
|
cbvrexvw |
|- ( E. z e. ( A (,) B ) x = ( z + T ) <-> E. y e. ( A (,) B ) x = ( y + T ) ) |
16 |
12 15
|
bitrdi |
|- ( w = x -> ( E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) <-> E. y e. ( A (,) B ) x = ( y + T ) ) ) |
17 |
16
|
cbvrabv |
|- { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } = { x e. CC | E. y e. ( A (,) B ) x = ( y + T ) } |
18 |
3
|
oveq1i |
|- ( C -cn-> CC ) = ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) |
19 |
6 18
|
eleqtrdi |
|- ( ph -> F e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) ) |
20 |
|
eqid |
|- ( x e. { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } |-> ( F ` ( x - T ) ) ) = ( x e. { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } |-> ( F ` ( x - T ) ) ) |
21 |
9 10 17 19 20
|
cncfshift |
|- ( ph -> ( x e. { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } |-> ( F ` ( x - T ) ) ) e. ( { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } -cn-> CC ) ) |
22 |
1 2 4
|
iooshift |
|- ( ph -> ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) = { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } ) |
23 |
5 22
|
syl5eq |
|- ( ph -> D = { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } ) |
24 |
23
|
mpteq1d |
|- ( ph -> ( x e. D |-> ( F ` ( x - T ) ) ) = ( x e. { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } |-> ( F ` ( x - T ) ) ) ) |
25 |
7 24
|
syl5eq |
|- ( ph -> G = ( x e. { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } |-> ( F ` ( x - T ) ) ) ) |
26 |
23
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( D -cn-> CC ) = ( { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } -cn-> CC ) ) |
27 |
21 25 26
|
3eltr4d |
|- ( ph -> G e. ( D -cn-> CC ) ) |