Metamath Proof Explorer

Theorem cncfval

Description: The value of the continuous complex function operation is the set of continuous functions from A to B . (Contributed by Paul Chapman, 11-Oct-2007) (Revised by Mario Carneiro, 9-Nov-2013)

Ref Expression
Assertion cncfval 
|- ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cnex 
 |-  CC e. _V
2 1 elpw2 
 |-  ( A e. ~P CC <-> A C_ CC )
3 1 elpw2 
 |-  ( B e. ~P CC <-> B C_ CC )
4 oveq2 
 |-  ( a = A -> ( b ^m a ) = ( b ^m A ) )
5 raleq 
 |-  ( a = A -> ( A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
6 5 rexbidv 
 |-  ( a = A -> ( E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
7 6 ralbidv 
 |-  ( a = A -> ( A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
8 7 raleqbi1dv 
 |-  ( a = A -> ( A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) <-> A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) ) )
9 4 8 rabeqbidv 
 |-  ( a = A -> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } = { f e. ( b ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
10 oveq1 
 |-  ( b = B -> ( b ^m A ) = ( B ^m A ) )
11 10 rabeqdv 
 |-  ( b = B -> { f e. ( b ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
12 df-cncf 
 |-  -cn-> = ( a e. ~P CC , b e. ~P CC |-> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
13 ovex 
 |-  ( B ^m A ) e. _V
14 13 rabex 
 |-  { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } e. _V
15 9 11 12 14 ovmpo 
 |-  ( ( A e. ~P CC /\ B e. ~P CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
16 2 3 15 syl2anbr 
 |-  ( ( A C_ CC /\ B C_ CC ) -> ( A -cn-> B ) = { f e. ( B ^m A ) | A. x e. A A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. A ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )