Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cnpfval |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( J CnP K ) = ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ) |
2 |
1
|
fveq1d |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = ( ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ` P ) ) |
3 |
|
fveq2 |
|- ( v = P -> ( f ` v ) = ( f ` P ) ) |
4 |
3
|
eleq1d |
|- ( v = P -> ( ( f ` v ) e. y <-> ( f ` P ) e. y ) ) |
5 |
|
eleq1 |
|- ( v = P -> ( v e. x <-> P e. x ) ) |
6 |
5
|
anbi1d |
|- ( v = P -> ( ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) ) |
7 |
6
|
rexbidv |
|- ( v = P -> ( E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) ) |
8 |
4 7
|
imbi12d |
|- ( v = P -> ( ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) ) ) |
9 |
8
|
ralbidv |
|- ( v = P -> ( A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) ) ) |
10 |
9
|
rabbidv |
|- ( v = P -> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) |
11 |
|
eqid |
|- ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) = ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) |
12 |
|
ovex |
|- ( Y ^m X ) e. _V |
13 |
12
|
rabex |
|- { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } e. _V |
14 |
10 11 13
|
fvmpt |
|- ( P e. X -> ( ( v e. X |-> { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` v ) e. y -> E. x e. J ( v e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) |
15 |
2 14
|
sylan9eq |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) |
16 |
15
|
3impa |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) |