Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cnpval |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( ( J CnP K ) ` P ) = { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) |
2 |
1
|
eleq2d |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } ) ) |
3 |
|
fveq1 |
|- ( f = F -> ( f ` P ) = ( F ` P ) ) |
4 |
3
|
eleq1d |
|- ( f = F -> ( ( f ` P ) e. y <-> ( F ` P ) e. y ) ) |
5 |
|
imaeq1 |
|- ( f = F -> ( f " x ) = ( F " x ) ) |
6 |
5
|
sseq1d |
|- ( f = F -> ( ( f " x ) C_ y <-> ( F " x ) C_ y ) ) |
7 |
6
|
anbi2d |
|- ( f = F -> ( ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) |
8 |
7
|
rexbidv |
|- ( f = F -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) |
9 |
4 8
|
imbi12d |
|- ( f = F -> ( ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) |
10 |
9
|
ralbidv |
|- ( f = F -> ( A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) |
11 |
10
|
elrab |
|- ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } <-> ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) |
12 |
|
toponmax |
|- ( K e. ( TopOn ` Y ) -> Y e. K ) |
13 |
|
toponmax |
|- ( J e. ( TopOn ` X ) -> X e. J ) |
14 |
|
elmapg |
|- ( ( Y e. K /\ X e. J ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) ) |
15 |
12 13 14
|
syl2anr |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( Y ^m X ) <-> F : X --> Y ) ) |
16 |
15
|
anbi1d |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( ( F e. ( Y ^m X ) /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) ) |
17 |
11 16
|
syl5bb |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) ) |
18 |
17
|
3adant3 |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. { f e. ( Y ^m X ) | A. y e. K ( ( f ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( f " x ) C_ y ) ) } <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) ) |
19 |
2 18
|
bitrd |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) ) |