Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
coe1fzgsumd.p |
|- P = ( Poly1 ` R ) |
2 |
|
coe1fzgsumd.b |
|- B = ( Base ` P ) |
3 |
|
coe1fzgsumd.r |
|- ( ph -> R e. Ring ) |
4 |
|
coe1fzgsumd.k |
|- ( ph -> K e. NN0 ) |
5 |
|
coe1fzgsumd.m |
|- ( ph -> A. x e. N M e. B ) |
6 |
|
coe1fzgsumd.n |
|- ( ph -> N e. Fin ) |
7 |
|
raleq |
|- ( n = (/) -> ( A. x e. n M e. B <-> A. x e. (/) M e. B ) ) |
8 |
7
|
anbi2d |
|- ( n = (/) -> ( ( ph /\ A. x e. n M e. B ) <-> ( ph /\ A. x e. (/) M e. B ) ) ) |
9 |
|
mpteq1 |
|- ( n = (/) -> ( x e. n |-> M ) = ( x e. (/) |-> M ) ) |
10 |
9
|
oveq2d |
|- ( n = (/) -> ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) = ( P gsum ( x e. (/) |-> M ) ) ) |
11 |
10
|
fveq2d |
|- ( n = (/) -> ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) = ( coe1 ` ( P gsum ( x e. (/) |-> M ) ) ) ) |
12 |
11
|
fveq1d |
|- ( n = (/) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) ` K ) = ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. (/) |-> M ) ) ) ` K ) ) |
13 |
|
mpteq1 |
|- ( n = (/) -> ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) = ( x e. (/) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) |
14 |
13
|
oveq2d |
|- ( n = (/) -> ( R gsum ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( R gsum ( x e. (/) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) |
15 |
12 14
|
eqeq12d |
|- ( n = (/) -> ( ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) <-> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. (/) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. (/) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) |
16 |
8 15
|
imbi12d |
|- ( n = (/) -> ( ( ( ph /\ A. x e. n M e. B ) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. x e. (/) M e. B ) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. (/) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. (/) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) |
17 |
|
raleq |
|- ( n = m -> ( A. x e. n M e. B <-> A. x e. m M e. B ) ) |
18 |
17
|
anbi2d |
|- ( n = m -> ( ( ph /\ A. x e. n M e. B ) <-> ( ph /\ A. x e. m M e. B ) ) ) |
19 |
|
mpteq1 |
|- ( n = m -> ( x e. n |-> M ) = ( x e. m |-> M ) ) |
20 |
19
|
oveq2d |
|- ( n = m -> ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) = ( P gsum ( x e. m |-> M ) ) ) |
21 |
20
|
fveq2d |
|- ( n = m -> ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) = ( coe1 ` ( P gsum ( x e. m |-> M ) ) ) ) |
22 |
21
|
fveq1d |
|- ( n = m -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) ` K ) = ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) ) |
23 |
|
mpteq1 |
|- ( n = m -> ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) = ( x e. m |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) |
24 |
23
|
oveq2d |
|- ( n = m -> ( R gsum ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( R gsum ( x e. m |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) |
25 |
22 24
|
eqeq12d |
|- ( n = m -> ( ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) <-> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. m |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) |
26 |
18 25
|
imbi12d |
|- ( n = m -> ( ( ( ph /\ A. x e. n M e. B ) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. x e. m M e. B ) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. m |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) |
27 |
|
raleq |
|- ( n = ( m u. { a } ) -> ( A. x e. n M e. B <-> A. x e. ( m u. { a } ) M e. B ) ) |
28 |
27
|
anbi2d |
|- ( n = ( m u. { a } ) -> ( ( ph /\ A. x e. n M e. B ) <-> ( ph /\ A. x e. ( m u. { a } ) M e. B ) ) ) |
29 |
|
mpteq1 |
|- ( n = ( m u. { a } ) -> ( x e. n |-> M ) = ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) |
30 |
29
|
oveq2d |
|- ( n = ( m u. { a } ) -> ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) = ( P gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) |
31 |
30
|
fveq2d |
|- ( n = ( m u. { a } ) -> ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) = ( coe1 ` ( P gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ) |
32 |
31
|
fveq1d |
|- ( n = ( m u. { a } ) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) ` K ) = ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) ) |
33 |
|
mpteq1 |
|- ( n = ( m u. { a } ) -> ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) = ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) |
34 |
33
|
oveq2d |
|- ( n = ( m u. { a } ) -> ( R gsum ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( R gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) |
35 |
32 34
|
eqeq12d |
|- ( n = ( m u. { a } ) -> ( ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) <-> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) |
36 |
28 35
|
imbi12d |
|- ( n = ( m u. { a } ) -> ( ( ( ph /\ A. x e. n M e. B ) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. x e. ( m u. { a } ) M e. B ) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) |
37 |
|
raleq |
|- ( n = N -> ( A. x e. n M e. B <-> A. x e. N M e. B ) ) |
38 |
37
|
anbi2d |
|- ( n = N -> ( ( ph /\ A. x e. n M e. B ) <-> ( ph /\ A. x e. N M e. B ) ) ) |
39 |
|
mpteq1 |
|- ( n = N -> ( x e. n |-> M ) = ( x e. N |-> M ) ) |
40 |
39
|
oveq2d |
|- ( n = N -> ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) = ( P gsum ( x e. N |-> M ) ) ) |
41 |
40
|
fveq2d |
|- ( n = N -> ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) = ( coe1 ` ( P gsum ( x e. N |-> M ) ) ) ) |
42 |
41
|
fveq1d |
|- ( n = N -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) ` K ) = ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. N |-> M ) ) ) ` K ) ) |
43 |
|
mpteq1 |
|- ( n = N -> ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) = ( x e. N |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) |
44 |
43
|
oveq2d |
|- ( n = N -> ( R gsum ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( R gsum ( x e. N |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) |
45 |
42 44
|
eqeq12d |
|- ( n = N -> ( ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) <-> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. N |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. N |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) |
46 |
38 45
|
imbi12d |
|- ( n = N -> ( ( ( ph /\ A. x e. n M e. B ) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. n |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. n |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ A. x e. N M e. B ) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. N |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. N |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) |
47 |
|
mpt0 |
|- ( x e. (/) |-> M ) = (/) |
48 |
47
|
oveq2i |
|- ( P gsum ( x e. (/) |-> M ) ) = ( P gsum (/) ) |
49 |
|
eqid |
|- ( 0g ` P ) = ( 0g ` P ) |
50 |
49
|
gsum0 |
|- ( P gsum (/) ) = ( 0g ` P ) |
51 |
48 50
|
eqtri |
|- ( P gsum ( x e. (/) |-> M ) ) = ( 0g ` P ) |
52 |
51
|
fveq2i |
|- ( coe1 ` ( P gsum ( x e. (/) |-> M ) ) ) = ( coe1 ` ( 0g ` P ) ) |
53 |
52
|
a1i |
|- ( ph -> ( coe1 ` ( P gsum ( x e. (/) |-> M ) ) ) = ( coe1 ` ( 0g ` P ) ) ) |
54 |
53
|
fveq1d |
|- ( ph -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. (/) |-> M ) ) ) ` K ) = ( ( coe1 ` ( 0g ` P ) ) ` K ) ) |
55 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
56 |
1 49 55
|
coe1z |
|- ( R e. Ring -> ( coe1 ` ( 0g ` P ) ) = ( NN0 X. { ( 0g ` R ) } ) ) |
57 |
3 56
|
syl |
|- ( ph -> ( coe1 ` ( 0g ` P ) ) = ( NN0 X. { ( 0g ` R ) } ) ) |
58 |
57
|
fveq1d |
|- ( ph -> ( ( coe1 ` ( 0g ` P ) ) ` K ) = ( ( NN0 X. { ( 0g ` R ) } ) ` K ) ) |
59 |
|
fvex |
|- ( 0g ` R ) e. _V |
60 |
|
fvconst2g |
|- ( ( ( 0g ` R ) e. _V /\ K e. NN0 ) -> ( ( NN0 X. { ( 0g ` R ) } ) ` K ) = ( 0g ` R ) ) |
61 |
59 4 60
|
sylancr |
|- ( ph -> ( ( NN0 X. { ( 0g ` R ) } ) ` K ) = ( 0g ` R ) ) |
62 |
54 58 61
|
3eqtrd |
|- ( ph -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. (/) |-> M ) ) ) ` K ) = ( 0g ` R ) ) |
63 |
|
mpt0 |
|- ( x e. (/) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) = (/) |
64 |
63
|
oveq2i |
|- ( R gsum ( x e. (/) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( R gsum (/) ) |
65 |
55
|
gsum0 |
|- ( R gsum (/) ) = ( 0g ` R ) |
66 |
64 65
|
eqtri |
|- ( R gsum ( x e. (/) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) = ( 0g ` R ) |
67 |
62 66
|
eqtr4di |
|- ( ph -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. (/) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. (/) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) |
68 |
67
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A. x e. (/) M e. B ) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. (/) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. (/) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) |
69 |
1 2 3 4
|
coe1fzgsumdlem |
|- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m /\ ph ) -> ( ( A. x e. m M e. B -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. m |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) |
70 |
69
|
3expia |
|- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m ) -> ( ph -> ( ( A. x e. m M e. B -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. m |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) ) |
71 |
70
|
a2d |
|- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m ) -> ( ( ph -> ( A. x e. m M e. B -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. m |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) -> ( ph -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) ) |
72 |
|
impexp |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. m M e. B ) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. m |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( A. x e. m M e. B -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. m |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) |
73 |
|
impexp |
|- ( ( ( ph /\ A. x e. ( m u. { a } ) M e. B ) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) <-> ( ph -> ( A. x e. ( m u. { a } ) M e. B -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) |
74 |
71 72 73
|
3imtr4g |
|- ( ( m e. Fin /\ -. a e. m ) -> ( ( ( ph /\ A. x e. m M e. B ) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. m |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. m |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) -> ( ( ph /\ A. x e. ( m u. { a } ) M e. B ) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. ( m u. { a } ) |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) |
75 |
16 26 36 46 68 74
|
findcard2s |
|- ( N e. Fin -> ( ( ph /\ A. x e. N M e. B ) -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. N |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. N |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) |
76 |
75
|
expd |
|- ( N e. Fin -> ( ph -> ( A. x e. N M e. B -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. N |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. N |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) ) |
77 |
6 76
|
mpcom |
|- ( ph -> ( A. x e. N M e. B -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. N |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. N |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) ) |
78 |
5 77
|
mpd |
|- ( ph -> ( ( coe1 ` ( P gsum ( x e. N |-> M ) ) ) ` K ) = ( R gsum ( x e. N |-> ( ( coe1 ` M ) ` K ) ) ) ) |