Theorem dflim4

Description: An alternate definition of a limit ordinal. (Contributed by NM, 1-Feb-2005)

	Ref	Expression
Assertion	dflim4	|- ( Lim A <-> ( Ord A /\ (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dflim2	|- ( Lim A <-> ( Ord A /\ (/) e. A /\ A = U. A ) )
2		ordunisuc2	|- ( Ord A -> ( A = U. A <-> A. x e. A suc x e. A ) )
3	2	anbi2d	|- ( Ord A -> ( ( (/) e. A /\ A = U. A ) <-> ( (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) ) )
4	3	pm5.32i	|- ( ( Ord A /\ ( (/) e. A /\ A = U. A ) ) <-> ( Ord A /\ ( (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) ) )
5		3anass	|- ( ( Ord A /\ (/) e. A /\ A = U. A ) <-> ( Ord A /\ ( (/) e. A /\ A = U. A ) ) )
6		3anass	|- ( ( Ord A /\ (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) <-> ( Ord A /\ ( (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) ) )
7	4 5 6	3bitr4i	|- ( ( Ord A /\ (/) e. A /\ A = U. A ) <-> ( Ord A /\ (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) )
8	1 7	bitri	|- ( Lim A <-> ( Ord A /\ (/) e. A /\ A. x e. A suc x e. A ) )