Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dihmeetlem9.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
dihmeetlem9.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
dihmeetlem9.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
dihmeetlem9.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
5 |
|
dihmeetlem9.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
6 |
|
dihmeetlem9.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
7 |
|
dihmeetlem9.u |
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W ) |
8 |
|
dihmeetlem9.s |
|- .(+) = ( LSSum ` U ) |
9 |
|
dihmeetlem9.i |
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W ) |
10 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
dihmeetlem10N |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( I ` ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` ( Y .\/ p ) ) ) ) |
11 |
10
|
ineq1d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( ( I ` ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) ) i^i ( I ` Y ) ) = ( ( ( I ` X ) i^i ( I ` ( Y .\/ p ) ) ) i^i ( I ` Y ) ) ) |
12 |
|
inass |
|- ( ( ( I ` X ) i^i ( I ` ( Y .\/ p ) ) ) i^i ( I ` Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( ( I ` ( Y .\/ p ) ) i^i ( I ` Y ) ) ) |
13 |
|
simpl1l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> K e. HL ) |
14 |
13
|
hllatd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> K e. Lat ) |
15 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> Y e. B ) |
16 |
|
simprll |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> p e. A ) |
17 |
1 6
|
atbase |
|- ( p e. A -> p e. B ) |
18 |
16 17
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> p e. B ) |
19 |
1 2 4
|
latlej1 |
|- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ p e. B ) -> Y .<_ ( Y .\/ p ) ) |
20 |
14 15 18 19
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> Y .<_ ( Y .\/ p ) ) |
21 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
22 |
1 4
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ p e. B ) -> ( Y .\/ p ) e. B ) |
23 |
14 15 18 22
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( Y .\/ p ) e. B ) |
24 |
1 2 3 9
|
dihord |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. B /\ ( Y .\/ p ) e. B ) -> ( ( I ` Y ) C_ ( I ` ( Y .\/ p ) ) <-> Y .<_ ( Y .\/ p ) ) ) |
25 |
21 15 23 24
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( ( I ` Y ) C_ ( I ` ( Y .\/ p ) ) <-> Y .<_ ( Y .\/ p ) ) ) |
26 |
20 25
|
mpbird |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( I ` Y ) C_ ( I ` ( Y .\/ p ) ) ) |
27 |
|
sseqin2 |
|- ( ( I ` Y ) C_ ( I ` ( Y .\/ p ) ) <-> ( ( I ` ( Y .\/ p ) ) i^i ( I ` Y ) ) = ( I ` Y ) ) |
28 |
26 27
|
sylib |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( ( I ` ( Y .\/ p ) ) i^i ( I ` Y ) ) = ( I ` Y ) ) |
29 |
28
|
ineq2d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( ( I ` X ) i^i ( ( I ` ( Y .\/ p ) ) i^i ( I ` Y ) ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) ) |
30 |
12 29
|
syl5eq |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( ( ( I ` X ) i^i ( I ` ( Y .\/ p ) ) ) i^i ( I ` Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) ) |
31 |
11 30
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( ( I ` ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) ) i^i ( I ` Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) ) |