Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dihmeetlem9.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
dihmeetlem9.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
dihmeetlem9.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
dihmeetlem9.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
5 |
|
dihmeetlem9.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
6 |
|
dihmeetlem9.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
7 |
|
dihmeetlem9.u |
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W ) |
8 |
|
dihmeetlem9.s |
|- .(+) = ( LSSum ` U ) |
9 |
|
dihmeetlem9.i |
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W ) |
10 |
|
simpl1l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> K e. HL ) |
11 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> X e. B ) |
12 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> Y e. B ) |
13 |
|
simprll |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> p e. A ) |
14 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> p .<_ X ) |
15 |
1 2 4 5 6
|
dihmeetlem5 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( p e. A /\ p .<_ X ) ) -> ( X ./\ ( Y .\/ p ) ) = ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) ) |
16 |
10 11 12 13 14 15
|
syl32anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( X ./\ ( Y .\/ p ) ) = ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) ) |
17 |
16
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( I ` ( X ./\ ( Y .\/ p ) ) ) = ( I ` ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) ) ) |
18 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
19 |
10
|
hllatd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> K e. Lat ) |
20 |
1 6
|
atbase |
|- ( p e. A -> p e. B ) |
21 |
13 20
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> p e. B ) |
22 |
1 4
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ p e. B ) -> ( Y .\/ p ) e. B ) |
23 |
19 12 21 22
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( Y .\/ p ) e. B ) |
24 |
1 2 3 4 5 6
|
dihmeetlem6 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> -. ( X ./\ ( Y .\/ p ) ) .<_ W ) |
25 |
1 2 5 3 9
|
dihmeetcN |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ ( Y .\/ p ) e. B ) /\ -. ( X ./\ ( Y .\/ p ) ) .<_ W ) -> ( I ` ( X ./\ ( Y .\/ p ) ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` ( Y .\/ p ) ) ) ) |
26 |
18 11 23 24 25
|
syl121anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( I ` ( X ./\ ( Y .\/ p ) ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` ( Y .\/ p ) ) ) ) |
27 |
17 26
|
eqtr3d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( p e. A /\ -. p .<_ W ) /\ p .<_ X ) ) -> ( I ` ( ( X ./\ Y ) .\/ p ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` ( Y .\/ p ) ) ) ) |