Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dihmeetlem6.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
dihmeetlem6.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
dihmeetlem6.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
dihmeetlem6.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
5 |
|
dihmeetlem6.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
6 |
|
dihmeetlem6.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
7 |
|
simprlr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> -. Q .<_ W ) |
8 |
|
simpl1l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> K e. HL ) |
9 |
8
|
hllatd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> K e. Lat ) |
10 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> X e. B ) |
11 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> Y e. B ) |
12 |
1 5
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) e. B ) |
13 |
9 10 11 12
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> ( X ./\ Y ) e. B ) |
14 |
|
simprll |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> Q e. A ) |
15 |
1 6
|
atbase |
|- ( Q e. A -> Q e. B ) |
16 |
14 15
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> Q e. B ) |
17 |
|
simpl1r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> W e. H ) |
18 |
1 3
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. B ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> W e. B ) |
20 |
1 2 4
|
latjle12 |
|- ( ( K e. Lat /\ ( ( X ./\ Y ) e. B /\ Q e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( X ./\ Y ) .<_ W /\ Q .<_ W ) <-> ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) .<_ W ) ) |
21 |
9 13 16 19 20
|
syl13anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> ( ( ( X ./\ Y ) .<_ W /\ Q .<_ W ) <-> ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) .<_ W ) ) |
22 |
|
simpr |
|- ( ( ( X ./\ Y ) .<_ W /\ Q .<_ W ) -> Q .<_ W ) |
23 |
21 22
|
syl6bir |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> ( ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) .<_ W -> Q .<_ W ) ) |
24 |
7 23
|
mtod |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> -. ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) .<_ W ) |
25 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> Q .<_ X ) |
26 |
1 2 4 5 6
|
dihmeetlem5 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ Q .<_ X ) ) -> ( X ./\ ( Y .\/ Q ) ) = ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ) |
27 |
8 10 11 14 25 26
|
syl32anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> ( X ./\ ( Y .\/ Q ) ) = ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) ) |
28 |
27
|
breq1d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> ( ( X ./\ ( Y .\/ Q ) ) .<_ W <-> ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) .<_ W ) ) |
29 |
24 28
|
mtbird |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> -. ( X ./\ ( Y .\/ Q ) ) .<_ W ) |