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Theorem dihmeetlem6

Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 6-Apr-2014)

Ref Expression
Hypotheses dihmeetlem6.b 
|- B = ( Base ` K )
dihmeetlem6.l 
|- .<_ = ( le ` K )
dihmeetlem6.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dihmeetlem6.j 
|- .\/ = ( join ` K )
dihmeetlem6.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
dihmeetlem6.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion dihmeetlem6 
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> -. ( X ./\ ( Y .\/ Q ) ) .<_ W )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dihmeetlem6.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 dihmeetlem6.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 dihmeetlem6.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 dihmeetlem6.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
5 dihmeetlem6.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
6 dihmeetlem6.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
7 simprlr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> -. Q .<_ W )
8 simpl1l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> K e. HL )
9 8 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> K e. Lat )
10 simpl2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> X e. B )
11 simpl3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> Y e. B )
12 1 5 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
13 9 10 11 12 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
14 simprll 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> Q e. A )
15 1 6 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. B )
16 14 15 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> Q e. B )
17 simpl1r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> W e. H )
18 1 3 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
19 17 18 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> W e. B )
20 1 2 4 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( X ./\ Y ) e. B /\ Q e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( ( X ./\ Y ) .<_ W /\ Q .<_ W ) <-> ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) .<_ W ) )
21 9 13 16 19 20 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> ( ( ( X ./\ Y ) .<_ W /\ Q .<_ W ) <-> ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) .<_ W ) )
22 simpr 
 |-  ( ( ( X ./\ Y ) .<_ W /\ Q .<_ W ) -> Q .<_ W )
23 21 22 biimtrrdi 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> ( ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) .<_ W -> Q .<_ W ) )
24 7 23 mtod 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> -. ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) .<_ W )
25 simprr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> Q .<_ X )
26 1 2 4 5 6 dihmeetlem5 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Q e. A /\ Q .<_ X ) ) -> ( X ./\ ( Y .\/ Q ) ) = ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) )
27 8 10 11 14 25 26 syl32anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> ( X ./\ ( Y .\/ Q ) ) = ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) )
28 27 breq1d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> ( ( X ./\ ( Y .\/ Q ) ) .<_ W <-> ( ( X ./\ Y ) .\/ Q ) .<_ W ) )
29 24 28 mtbird 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ Q .<_ X ) ) -> -. ( X ./\ ( Y .\/ Q ) ) .<_ W )