Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfz2nn0 |
|- ( M e. ( 0 ... L ) <-> ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) ) |
2 |
|
elfz2 |
|- ( N e. ( L ... X ) <-> ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) ) |
3 |
|
nn0re |
|- ( M e. NN0 -> M e. RR ) |
4 |
|
nn0re |
|- ( L e. NN0 -> L e. RR ) |
5 |
|
zre |
|- ( N e. ZZ -> N e. RR ) |
6 |
3 4 5
|
3anim123i |
|- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ N e. ZZ ) -> ( M e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) ) |
7 |
6
|
3expa |
|- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) ) |
8 |
|
letr |
|- ( ( M e. RR /\ L e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( M <_ L /\ L <_ N ) -> M <_ N ) ) |
9 |
7 8
|
syl |
|- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ L /\ L <_ N ) -> M <_ N ) ) |
10 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> M e. NN0 ) |
11 |
|
simpr |
|- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. ZZ ) |
13 |
|
elnn0z |
|- ( M e. NN0 <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) ) |
14 |
|
0red |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 0 e. RR ) |
15 |
|
zre |
|- ( M e. ZZ -> M e. RR ) |
16 |
15
|
adantr |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR ) |
17 |
5
|
adantl |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR ) |
18 |
|
letr |
|- ( ( 0 e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( 0 <_ M /\ M <_ N ) -> 0 <_ N ) ) |
19 |
14 16 17 18
|
syl3anc |
|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( 0 <_ M /\ M <_ N ) -> 0 <_ N ) ) |
20 |
19
|
exp4b |
|- ( M e. ZZ -> ( N e. ZZ -> ( 0 <_ M -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) ) ) |
21 |
20
|
com23 |
|- ( M e. ZZ -> ( 0 <_ M -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) ) ) |
22 |
21
|
imp |
|- ( ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) ) |
23 |
13 22
|
sylbi |
|- ( M e. NN0 -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) ) |
24 |
23
|
adantr |
|- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( N e. ZZ -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) ) |
25 |
24
|
imp |
|- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> 0 <_ N ) ) |
26 |
25
|
imp |
|- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> 0 <_ N ) |
27 |
|
elnn0z |
|- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) ) |
28 |
12 26 27
|
sylanbrc |
|- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> N e. NN0 ) |
29 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> M <_ N ) |
30 |
10 28 29
|
3jca |
|- ( ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) /\ M <_ N ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) |
31 |
30
|
ex |
|- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) |
32 |
9 31
|
syld |
|- ( ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ L /\ L <_ N ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) |
33 |
32
|
exp4b |
|- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( N e. ZZ -> ( M <_ L -> ( L <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) ) ) |
34 |
33
|
com23 |
|- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 ) -> ( M <_ L -> ( N e. ZZ -> ( L <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) ) ) |
35 |
34
|
3impia |
|- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ZZ -> ( L <_ N -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) ) |
36 |
35
|
com13 |
|- ( L <_ N -> ( N e. ZZ -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) ) |
37 |
36
|
adantr |
|- ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> ( N e. ZZ -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) ) |
38 |
37
|
com12 |
|- ( N e. ZZ -> ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) ) |
39 |
38
|
3ad2ant3 |
|- ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( L <_ N /\ N <_ X ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) ) |
40 |
39
|
imp |
|- ( ( ( L e. ZZ /\ X e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( L <_ N /\ N <_ X ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) |
41 |
2 40
|
sylbi |
|- ( N e. ( L ... X ) -> ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) |
42 |
41
|
com12 |
|- ( ( M e. NN0 /\ L e. NN0 /\ M <_ L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) |
43 |
1 42
|
sylbi |
|- ( M e. ( 0 ... L ) -> ( N e. ( L ... X ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) ) |
44 |
43
|
imp |
|- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) |
45 |
|
elfz2nn0 |
|- ( M e. ( 0 ... N ) <-> ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) ) |
46 |
44 45
|
sylibr |
|- ( ( M e. ( 0 ... L ) /\ N e. ( L ... X ) ) -> M e. ( 0 ... N ) ) |