Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfz2nn0 |
|- ( N e. ( 0 ... R ) <-> ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) |
2 |
|
elfz2 |
|- ( M e. ( N ... R ) <-> ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) ) |
3 |
|
simplr |
|- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. ZZ ) |
4 |
|
0red |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> 0 e. RR ) |
5 |
|
nn0re |
|- ( N e. NN0 -> N e. RR ) |
6 |
5
|
adantr |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> N e. RR ) |
7 |
|
zre |
|- ( M e. ZZ -> M e. RR ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> M e. RR ) |
9 |
4 6 8
|
3jca |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) ) |
11 |
|
nn0ge0 |
|- ( N e. NN0 -> 0 <_ N ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) -> 0 <_ N ) |
13 |
12
|
anim1i |
|- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> ( 0 <_ N /\ N <_ M ) ) |
14 |
|
letr |
|- ( ( 0 e. RR /\ N e. RR /\ M e. RR ) -> ( ( 0 <_ N /\ N <_ M ) -> 0 <_ M ) ) |
15 |
10 13 14
|
sylc |
|- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> 0 <_ M ) |
16 |
|
elnn0z |
|- ( M e. NN0 <-> ( M e. ZZ /\ 0 <_ M ) ) |
17 |
3 15 16
|
sylanbrc |
|- ( ( ( N e. NN0 /\ M e. ZZ ) /\ N <_ M ) -> M e. NN0 ) |
18 |
17
|
exp31 |
|- ( N e. NN0 -> ( M e. ZZ -> ( N <_ M -> M e. NN0 ) ) ) |
19 |
18
|
com23 |
|- ( N e. NN0 -> ( N <_ M -> ( M e. ZZ -> M e. NN0 ) ) ) |
20 |
19
|
3ad2ant1 |
|- ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( N <_ M -> ( M e. ZZ -> M e. NN0 ) ) ) |
21 |
20
|
com13 |
|- ( M e. ZZ -> ( N <_ M -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) ) |
22 |
21
|
adantrd |
|- ( M e. ZZ -> ( ( N <_ M /\ M <_ R ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) ) |
23 |
22
|
3ad2ant3 |
|- ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( N <_ M /\ M <_ R ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) ) |
24 |
23
|
imp |
|- ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> M e. NN0 ) ) |
25 |
24
|
imp |
|- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> M e. NN0 ) |
26 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> R e. NN0 ) |
27 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> M <_ R ) |
28 |
25 26 27
|
3jca |
|- ( ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) /\ ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) |
29 |
28
|
ex |
|- ( ( ( N e. ZZ /\ R e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( N <_ M /\ M <_ R ) ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) ) |
30 |
2 29
|
sylbi |
|- ( M e. ( N ... R ) -> ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) ) |
31 |
30
|
com12 |
|- ( ( N e. NN0 /\ R e. NN0 /\ N <_ R ) -> ( M e. ( N ... R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) ) |
32 |
1 31
|
sylbi |
|- ( N e. ( 0 ... R ) -> ( M e. ( N ... R ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) ) |
33 |
32
|
imp |
|- ( ( N e. ( 0 ... R ) /\ M e. ( N ... R ) ) -> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) |
34 |
|
elfz2nn0 |
|- ( M e. ( 0 ... R ) <-> ( M e. NN0 /\ R e. NN0 /\ M <_ R ) ) |
35 |
33 34
|
sylibr |
|- ( ( N e. ( 0 ... R ) /\ M e. ( N ... R ) ) -> M e. ( 0 ... R ) ) |