Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
infexd.1 |
|- ( ph -> R Or A ) |
2 |
|
df-inf |
|- inf ( B , A , R ) = sup ( B , A , `' R ) |
3 |
|
cnvso |
|- ( R Or A <-> `' R Or A ) |
4 |
1 3
|
sylib |
|- ( ph -> `' R Or A ) |
5 |
4
|
eqsup |
|- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) -> sup ( B , A , `' R ) = C ) ) |
6 |
|
brcnvg |
|- ( ( C e. A /\ y e. _V ) -> ( C `' R y <-> y R C ) ) |
7 |
6
|
bicomd |
|- ( ( C e. A /\ y e. _V ) -> ( y R C <-> C `' R y ) ) |
8 |
7
|
elvd |
|- ( C e. A -> ( y R C <-> C `' R y ) ) |
9 |
8
|
notbid |
|- ( C e. A -> ( -. y R C <-> -. C `' R y ) ) |
10 |
9
|
ralbidv |
|- ( C e. A -> ( A. y e. B -. y R C <-> A. y e. B -. C `' R y ) ) |
11 |
|
vex |
|- y e. _V |
12 |
|
brcnvg |
|- ( ( y e. _V /\ C e. A ) -> ( y `' R C <-> C R y ) ) |
13 |
11 12
|
mpan |
|- ( C e. A -> ( y `' R C <-> C R y ) ) |
14 |
13
|
bicomd |
|- ( C e. A -> ( C R y <-> y `' R C ) ) |
15 |
|
vex |
|- z e. _V |
16 |
11 15
|
brcnv |
|- ( y `' R z <-> z R y ) |
17 |
16
|
a1i |
|- ( C e. A -> ( y `' R z <-> z R y ) ) |
18 |
17
|
bicomd |
|- ( C e. A -> ( z R y <-> y `' R z ) ) |
19 |
18
|
rexbidv |
|- ( C e. A -> ( E. z e. B z R y <-> E. z e. B y `' R z ) ) |
20 |
14 19
|
imbi12d |
|- ( C e. A -> ( ( C R y -> E. z e. B z R y ) <-> ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) |
21 |
20
|
ralbidv |
|- ( C e. A -> ( A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) <-> A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) |
22 |
10 21
|
anbi12d |
|- ( C e. A -> ( ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) ) |
23 |
22
|
pm5.32i |
|- ( ( C e. A /\ ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) ) |
24 |
|
3anass |
|- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) ) |
25 |
|
3anass |
|- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) <-> ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) ) |
26 |
23 24 25
|
3bitr4i |
|- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) <-> ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) |
27 |
26
|
biimpi |
|- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> ( C e. A /\ A. y e. B -. C `' R y /\ A. y e. A ( y `' R C -> E. z e. B y `' R z ) ) ) |
28 |
5 27
|
impel |
|- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> sup ( B , A , `' R ) = C ) |
29 |
2 28
|
eqtrid |
|- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) ) -> inf ( B , A , R ) = C ) |
30 |
29
|
ex |
|- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. y R C /\ A. y e. A ( C R y -> E. z e. B z R y ) ) -> inf ( B , A , R ) = C ) ) |