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Theorem facubnd

Description: An upper bound for the factorial function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016)

Ref Expression
Assertion facubnd 
|- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) <_ ( N ^ N ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 fveq2 
 |-  ( m = 0 -> ( ! ` m ) = ( ! ` 0 ) )
2 fac0 
 |-  ( ! ` 0 ) = 1
3 1 2 eqtrdi 
 |-  ( m = 0 -> ( ! ` m ) = 1 )
4 id 
 |-  ( m = 0 -> m = 0 )
5 4 4 oveq12d 
 |-  ( m = 0 -> ( m ^ m ) = ( 0 ^ 0 ) )
6 0exp0e1 
 |-  ( 0 ^ 0 ) = 1
7 5 6 eqtrdi 
 |-  ( m = 0 -> ( m ^ m ) = 1 )
8 3 7 breq12d 
 |-  ( m = 0 -> ( ( ! ` m ) <_ ( m ^ m ) <-> 1 <_ 1 ) )
9 fveq2 
 |-  ( m = k -> ( ! ` m ) = ( ! ` k ) )
10 id 
 |-  ( m = k -> m = k )
11 10 10 oveq12d 
 |-  ( m = k -> ( m ^ m ) = ( k ^ k ) )
12 9 11 breq12d 
 |-  ( m = k -> ( ( ! ` m ) <_ ( m ^ m ) <-> ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) )
13 fveq2 
 |-  ( m = ( k + 1 ) -> ( ! ` m ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
14 id 
 |-  ( m = ( k + 1 ) -> m = ( k + 1 ) )
15 14 14 oveq12d 
 |-  ( m = ( k + 1 ) -> ( m ^ m ) = ( ( k + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) )
16 13 15 breq12d 
 |-  ( m = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` m ) <_ ( m ^ m ) <-> ( ! ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( k + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) )
17 fveq2 
 |-  ( m = N -> ( ! ` m ) = ( ! ` N ) )
18 id 
 |-  ( m = N -> m = N )
19 18 18 oveq12d 
 |-  ( m = N -> ( m ^ m ) = ( N ^ N ) )
20 17 19 breq12d 
 |-  ( m = N -> ( ( ! ` m ) <_ ( m ^ m ) <-> ( ! ` N ) <_ ( N ^ N ) ) )
21 1le1 
 |-  1 <_ 1
22 faccl 
 |-  ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
23 22 adantr 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ! ` k ) e. NN )
24 23 nnred 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ! ` k ) e. RR )
25 nn0re 
 |-  ( k e. NN0 -> k e. RR )
26 25 adantr 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> k e. RR )
27 simpl 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> k e. NN0 )
28 26 27 reexpcld 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( k ^ k ) e. RR )
29 nn0p1nn 
 |-  ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
30 29 adantr 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
31 30 nnred 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( k + 1 ) e. RR )
32 31 27 reexpcld 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ( k + 1 ) ^ k ) e. RR )
33 simpr 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) )
34 nn0ge0 
 |-  ( k e. NN0 -> 0 <_ k )
35 34 adantr 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> 0 <_ k )
36 26 lep1d 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> k <_ ( k + 1 ) )
37 leexp1a 
 |-  ( ( ( k e. RR /\ ( k + 1 ) e. RR /\ k e. NN0 ) /\ ( 0 <_ k /\ k <_ ( k + 1 ) ) ) -> ( k ^ k ) <_ ( ( k + 1 ) ^ k ) )
38 26 31 27 35 36 37 syl32anc 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( k ^ k ) <_ ( ( k + 1 ) ^ k ) )
39 24 28 32 33 38 letrd 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ! ` k ) <_ ( ( k + 1 ) ^ k ) )
40 30 nngt0d 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> 0 < ( k + 1 ) )
41 lemul1 
 |-  ( ( ( ! ` k ) e. RR /\ ( ( k + 1 ) ^ k ) e. RR /\ ( ( k + 1 ) e. RR /\ 0 < ( k + 1 ) ) ) -> ( ( ! ` k ) <_ ( ( k + 1 ) ^ k ) <-> ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) <_ ( ( ( k + 1 ) ^ k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
42 24 32 31 40 41 syl112anc 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ( ! ` k ) <_ ( ( k + 1 ) ^ k ) <-> ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) <_ ( ( ( k + 1 ) ^ k ) x. ( k + 1 ) ) ) )
43 39 42 mpbid 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) <_ ( ( ( k + 1 ) ^ k ) x. ( k + 1 ) ) )
44 facp1 
 |-  ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
45 44 adantr 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
46 30 nncnd 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( k + 1 ) e. CC )
47 46 27 expp1d 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ( k + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) = ( ( ( k + 1 ) ^ k ) x. ( k + 1 ) ) )
48 43 45 47 3brtr4d 
 |-  ( ( k e. NN0 /\ ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( k + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) )
49 48 ex 
 |-  ( k e. NN0 -> ( ( ! ` k ) <_ ( k ^ k ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( k + 1 ) ^ ( k + 1 ) ) ) )
50 8 12 16 20 21 49 nn0ind 
 |-  ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) <_ ( N ^ N ) )