Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
flffbas.l |
|- L = ( Y filGen B ) |
2 |
|
fgcl |
|- ( B e. ( fBas ` Y ) -> ( Y filGen B ) e. ( Fil ` Y ) ) |
3 |
1 2
|
eqeltrid |
|- ( B e. ( fBas ` Y ) -> L e. ( Fil ` Y ) ) |
4 |
|
isflf |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ L e. ( Fil ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> E. t e. L ( F " t ) C_ o ) ) ) ) |
5 |
3 4
|
syl3an2 |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> E. t e. L ( F " t ) C_ o ) ) ) ) |
6 |
1
|
eleq2i |
|- ( t e. L <-> t e. ( Y filGen B ) ) |
7 |
|
elfg |
|- ( B e. ( fBas ` Y ) -> ( t e. ( Y filGen B ) <-> ( t C_ Y /\ E. s e. B s C_ t ) ) ) |
8 |
7
|
3ad2ant2 |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( t e. ( Y filGen B ) <-> ( t C_ Y /\ E. s e. B s C_ t ) ) ) |
9 |
|
sstr2 |
|- ( ( F " s ) C_ ( F " t ) -> ( ( F " t ) C_ o -> ( F " s ) C_ o ) ) |
10 |
|
imass2 |
|- ( s C_ t -> ( F " s ) C_ ( F " t ) ) |
11 |
9 10
|
syl11 |
|- ( ( F " t ) C_ o -> ( s C_ t -> ( F " s ) C_ o ) ) |
12 |
11
|
adantl |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ ( F " t ) C_ o ) -> ( s C_ t -> ( F " s ) C_ o ) ) |
13 |
12
|
reximdv |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ ( F " t ) C_ o ) -> ( E. s e. B s C_ t -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) |
14 |
13
|
ex |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( F " t ) C_ o -> ( E. s e. B s C_ t -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) ) |
15 |
14
|
com23 |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( E. s e. B s C_ t -> ( ( F " t ) C_ o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) ) |
16 |
15
|
adantld |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( t C_ Y /\ E. s e. B s C_ t ) -> ( ( F " t ) C_ o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) ) |
17 |
8 16
|
sylbid |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( t e. ( Y filGen B ) -> ( ( F " t ) C_ o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) ) |
18 |
17
|
adantr |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( t e. ( Y filGen B ) -> ( ( F " t ) C_ o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) ) |
19 |
6 18
|
syl5bi |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( t e. L -> ( ( F " t ) C_ o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) ) |
20 |
19
|
rexlimdv |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( E. t e. L ( F " t ) C_ o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) |
21 |
|
ssfg |
|- ( B e. ( fBas ` Y ) -> B C_ ( Y filGen B ) ) |
22 |
21 1
|
sseqtrrdi |
|- ( B e. ( fBas ` Y ) -> B C_ L ) |
23 |
22
|
sselda |
|- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ s e. B ) -> s e. L ) |
24 |
23
|
3ad2antl2 |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ s e. B ) -> s e. L ) |
25 |
24
|
ad2ant2r |
|- ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ ( s e. B /\ ( F " s ) C_ o ) ) -> s e. L ) |
26 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ ( s e. B /\ ( F " s ) C_ o ) ) -> ( F " s ) C_ o ) |
27 |
|
imaeq2 |
|- ( t = s -> ( F " t ) = ( F " s ) ) |
28 |
27
|
sseq1d |
|- ( t = s -> ( ( F " t ) C_ o <-> ( F " s ) C_ o ) ) |
29 |
28
|
rspcev |
|- ( ( s e. L /\ ( F " s ) C_ o ) -> E. t e. L ( F " t ) C_ o ) |
30 |
25 26 29
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) /\ ( s e. B /\ ( F " s ) C_ o ) ) -> E. t e. L ( F " t ) C_ o ) |
31 |
30
|
rexlimdvaa |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( E. s e. B ( F " s ) C_ o -> E. t e. L ( F " t ) C_ o ) ) |
32 |
20 31
|
impbid |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( E. t e. L ( F " t ) C_ o <-> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) |
33 |
32
|
imbi2d |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( ( A e. o -> E. t e. L ( F " t ) C_ o ) <-> ( A e. o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) ) |
34 |
33
|
ralbidv |
|- ( ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ A e. X ) -> ( A. o e. J ( A e. o -> E. t e. L ( F " t ) C_ o ) <-> A. o e. J ( A e. o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) ) |
35 |
34
|
pm5.32da |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> E. t e. L ( F " t ) C_ o ) ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) ) ) |
36 |
5 35
|
bitrd |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( A e. ( ( J fLimf L ) ` F ) <-> ( A e. X /\ A. o e. J ( A e. o -> E. s e. B ( F " s ) C_ o ) ) ) ) |