Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl |
|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> R Fr A ) |
2 |
|
snssi |
|- ( B e. A -> { B } C_ A ) |
3 |
2
|
adantl |
|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> { B } C_ A ) |
4 |
|
snnzg |
|- ( B e. A -> { B } =/= (/) ) |
5 |
4
|
adantl |
|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> { B } =/= (/) ) |
6 |
|
snex |
|- { B } e. _V |
7 |
6
|
frc |
|- ( ( R Fr A /\ { B } C_ A /\ { B } =/= (/) ) -> E. y e. { B } { x e. { B } | x R y } = (/) ) |
8 |
1 3 5 7
|
syl3anc |
|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> E. y e. { B } { x e. { B } | x R y } = (/) ) |
9 |
|
breq1 |
|- ( x = z -> ( x R y <-> z R y ) ) |
10 |
9
|
rabeq0w |
|- ( { x e. { B } | x R y } = (/) <-> A. z e. { B } -. z R y ) |
11 |
|
breq2 |
|- ( y = B -> ( z R y <-> z R B ) ) |
12 |
11
|
notbid |
|- ( y = B -> ( -. z R y <-> -. z R B ) ) |
13 |
12
|
ralbidv |
|- ( y = B -> ( A. z e. { B } -. z R y <-> A. z e. { B } -. z R B ) ) |
14 |
10 13
|
syl5bb |
|- ( y = B -> ( { x e. { B } | x R y } = (/) <-> A. z e. { B } -. z R B ) ) |
15 |
14
|
rexsng |
|- ( B e. A -> ( E. y e. { B } { x e. { B } | x R y } = (/) <-> A. z e. { B } -. z R B ) ) |
16 |
|
breq1 |
|- ( z = B -> ( z R B <-> B R B ) ) |
17 |
16
|
notbid |
|- ( z = B -> ( -. z R B <-> -. B R B ) ) |
18 |
17
|
ralsng |
|- ( B e. A -> ( A. z e. { B } -. z R B <-> -. B R B ) ) |
19 |
15 18
|
bitrd |
|- ( B e. A -> ( E. y e. { B } { x e. { B } | x R y } = (/) <-> -. B R B ) ) |
20 |
19
|
adantl |
|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> ( E. y e. { B } { x e. { B } | x R y } = (/) <-> -. B R B ) ) |
21 |
8 20
|
mpbid |
|- ( ( R Fr A /\ B e. A ) -> -. B R B ) |