Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isgbow |
|- ( Z e. GoldbachOddW <-> ( Z e. Odd /\ E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime Z = ( ( p + q ) + r ) ) ) |
2 |
|
prmuz2 |
|- ( p e. Prime -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
3 |
|
eluz2 |
|- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) ) |
4 |
2 3
|
sylib |
|- ( p e. Prime -> ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) ) |
5 |
|
prmuz2 |
|- ( q e. Prime -> q e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
6 |
|
eluz2 |
|- ( q e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) |
7 |
5 6
|
sylib |
|- ( q e. Prime -> ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) |
8 |
4 7
|
anim12i |
|- ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) ) |
9 |
|
prmuz2 |
|- ( r e. Prime -> r e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
10 |
|
eluz2 |
|- ( r e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) |
11 |
9 10
|
sylib |
|- ( r e. Prime -> ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) |
12 |
|
zre |
|- ( p e. ZZ -> p e. RR ) |
13 |
12
|
3ad2ant2 |
|- ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) -> p e. RR ) |
14 |
|
zre |
|- ( q e. ZZ -> q e. RR ) |
15 |
14
|
3ad2ant2 |
|- ( ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) -> q e. RR ) |
16 |
13 15
|
anim12i |
|- ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) -> ( p e. RR /\ q e. RR ) ) |
17 |
|
2re |
|- 2 e. RR |
18 |
17 17
|
pm3.2i |
|- ( 2 e. RR /\ 2 e. RR ) |
19 |
16 18
|
jctil |
|- ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) -> ( ( 2 e. RR /\ 2 e. RR ) /\ ( p e. RR /\ q e. RR ) ) ) |
20 |
|
simp3 |
|- ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) -> 2 <_ p ) |
21 |
|
simp3 |
|- ( ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) -> 2 <_ q ) |
22 |
20 21
|
anim12i |
|- ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) -> ( 2 <_ p /\ 2 <_ q ) ) |
23 |
|
le2add |
|- ( ( ( 2 e. RR /\ 2 e. RR ) /\ ( p e. RR /\ q e. RR ) ) -> ( ( 2 <_ p /\ 2 <_ q ) -> ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) ) ) |
24 |
19 22 23
|
sylc |
|- ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) -> ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) ) |
25 |
|
2p2e4 |
|- ( 2 + 2 ) = 4 |
26 |
25
|
breq1i |
|- ( ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) <-> 4 <_ ( p + q ) ) |
27 |
|
zaddcl |
|- ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( p + q ) e. ZZ ) |
28 |
27
|
zred |
|- ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( p + q ) e. RR ) |
29 |
28
|
adantr |
|- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) -> ( p + q ) e. RR ) |
30 |
|
zre |
|- ( r e. ZZ -> r e. RR ) |
31 |
30
|
3ad2ant2 |
|- ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> r e. RR ) |
32 |
29 31
|
anim12i |
|- ( ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> ( ( p + q ) e. RR /\ r e. RR ) ) |
33 |
|
4re |
|- 4 e. RR |
34 |
33 17
|
pm3.2i |
|- ( 4 e. RR /\ 2 e. RR ) |
35 |
32 34
|
jctil |
|- ( ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> ( ( 4 e. RR /\ 2 e. RR ) /\ ( ( p + q ) e. RR /\ r e. RR ) ) ) |
36 |
|
simpr |
|- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) -> 4 <_ ( p + q ) ) |
37 |
|
simp3 |
|- ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 2 <_ r ) |
38 |
36 37
|
anim12i |
|- ( ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> ( 4 <_ ( p + q ) /\ 2 <_ r ) ) |
39 |
|
le2add |
|- ( ( ( 4 e. RR /\ 2 e. RR ) /\ ( ( p + q ) e. RR /\ r e. RR ) ) -> ( ( 4 <_ ( p + q ) /\ 2 <_ r ) -> ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) ) ) |
40 |
35 38 39
|
sylc |
|- ( ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) ) |
41 |
|
4p2e6 |
|- ( 4 + 2 ) = 6 |
42 |
41
|
breq1i |
|- ( ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) <-> 6 <_ ( ( p + q ) + r ) ) |
43 |
|
5lt6 |
|- 5 < 6 |
44 |
|
5re |
|- 5 e. RR |
45 |
44
|
a1i |
|- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> 5 e. RR ) |
46 |
|
6re |
|- 6 e. RR |
47 |
46
|
a1i |
|- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> 6 e. RR ) |
48 |
27
|
adantr |
|- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> ( p + q ) e. ZZ ) |
49 |
|
simpr |
|- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> r e. ZZ ) |
50 |
48 49
|
zaddcld |
|- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> ( ( p + q ) + r ) e. ZZ ) |
51 |
50
|
zred |
|- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> ( ( p + q ) + r ) e. RR ) |
52 |
|
ltletr |
|- ( ( 5 e. RR /\ 6 e. RR /\ ( ( p + q ) + r ) e. RR ) -> ( ( 5 < 6 /\ 6 <_ ( ( p + q ) + r ) ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) |
53 |
45 47 51 52
|
syl3anc |
|- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> ( ( 5 < 6 /\ 6 <_ ( ( p + q ) + r ) ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) |
54 |
43 53
|
mpani |
|- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> ( 6 <_ ( ( p + q ) + r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) |
55 |
42 54
|
syl5bi |
|- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ r e. ZZ ) -> ( ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) |
56 |
55
|
expcom |
|- ( r e. ZZ -> ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) ) |
57 |
56
|
3ad2ant2 |
|- ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) ) |
58 |
57
|
com12 |
|- ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> ( ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) ) |
59 |
58
|
adantr |
|- ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> ( ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) ) |
60 |
59
|
imp |
|- ( ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> ( ( 4 + 2 ) <_ ( ( p + q ) + r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) |
61 |
40 60
|
mpd |
|- ( ( ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) /\ 4 <_ ( p + q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) |
62 |
61
|
exp31 |
|- ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( 4 <_ ( p + q ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) ) |
63 |
26 62
|
syl5bi |
|- ( ( p e. ZZ /\ q e. ZZ ) -> ( ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) ) |
64 |
63
|
expcom |
|- ( q e. ZZ -> ( p e. ZZ -> ( ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) ) ) |
65 |
64
|
3ad2ant2 |
|- ( ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) -> ( p e. ZZ -> ( ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) ) ) |
66 |
65
|
com12 |
|- ( p e. ZZ -> ( ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) -> ( ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) ) ) |
67 |
66
|
3ad2ant2 |
|- ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) -> ( ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) ) ) |
68 |
67
|
imp |
|- ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) -> ( ( 2 + 2 ) <_ ( p + q ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) ) |
69 |
24 68
|
mpd |
|- ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) -> ( ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) |
70 |
69
|
imp |
|- ( ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) |
71 |
|
breq2 |
|- ( Z = ( ( p + q ) + r ) -> ( 5 < Z <-> 5 < ( ( p + q ) + r ) ) ) |
72 |
70 71
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( 2 e. ZZ /\ p e. ZZ /\ 2 <_ p ) /\ ( 2 e. ZZ /\ q e. ZZ /\ 2 <_ q ) ) /\ ( 2 e. ZZ /\ r e. ZZ /\ 2 <_ r ) ) -> ( Z = ( ( p + q ) + r ) -> 5 < Z ) ) |
73 |
8 11 72
|
syl2an |
|- ( ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) /\ r e. Prime ) -> ( Z = ( ( p + q ) + r ) -> 5 < Z ) ) |
74 |
73
|
rexlimdva |
|- ( ( p e. Prime /\ q e. Prime ) -> ( E. r e. Prime Z = ( ( p + q ) + r ) -> 5 < Z ) ) |
75 |
74
|
adantl |
|- ( ( Z e. Odd /\ ( p e. Prime /\ q e. Prime ) ) -> ( E. r e. Prime Z = ( ( p + q ) + r ) -> 5 < Z ) ) |
76 |
75
|
rexlimdvva |
|- ( Z e. Odd -> ( E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime Z = ( ( p + q ) + r ) -> 5 < Z ) ) |
77 |
76
|
imp |
|- ( ( Z e. Odd /\ E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime Z = ( ( p + q ) + r ) ) -> 5 < Z ) |
78 |
1 77
|
sylbi |
|- ( Z e. GoldbachOddW -> 5 < Z ) |