Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tpfi |
|- { A , B , C } e. Fin |
2 |
|
snfi |
|- { D } e. Fin |
3 |
|
unfi |
|- ( ( { A , B , C } e. Fin /\ { D } e. Fin ) -> ( { A , B , C } u. { D } ) e. Fin ) |
4 |
1 2 3
|
mp2an |
|- ( { A , B , C } u. { D } ) e. Fin |
5 |
|
tpfi |
|- { E , F , G } e. Fin |
6 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) -> A =/= E ) |
7 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) -> B =/= E ) |
8 |
|
simpr1 |
|- ( ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) -> C =/= E ) |
9 |
6 7 8
|
3anim123i |
|- ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) -> ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) -> ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) ) |
11 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) -> A =/= F ) |
12 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) -> B =/= F ) |
13 |
|
simpr2 |
|- ( ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) -> C =/= F ) |
14 |
11 12 13
|
3anim123i |
|- ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) -> ( A =/= F /\ B =/= F /\ C =/= F ) ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) -> ( A =/= F /\ B =/= F /\ C =/= F ) ) |
16 |
|
simp1r3 |
|- ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) -> A =/= G ) |
17 |
16
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) -> A =/= G ) |
18 |
|
simp2r3 |
|- ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) -> B =/= G ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) -> B =/= G ) |
20 |
|
simp3r3 |
|- ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) -> C =/= G ) |
21 |
20
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) -> C =/= G ) |
22 |
|
disjtp2 |
|- ( ( ( A =/= E /\ B =/= E /\ C =/= E ) /\ ( A =/= F /\ B =/= F /\ C =/= F ) /\ ( A =/= G /\ B =/= G /\ C =/= G ) ) -> ( { A , B , C } i^i { E , F , G } ) = (/) ) |
23 |
10 15 17 19 21 22
|
syl113anc |
|- ( ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) -> ( { A , B , C } i^i { E , F , G } ) = (/) ) |
24 |
23
|
adantl |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( { A , B , C } i^i { E , F , G } ) = (/) ) |
25 |
|
incom |
|- ( { D } i^i { E , F , G } ) = ( { E , F , G } i^i { D } ) |
26 |
|
necom |
|- ( D =/= E <-> E =/= D ) |
27 |
|
necom |
|- ( D =/= F <-> F =/= D ) |
28 |
|
necom |
|- ( D =/= G <-> G =/= D ) |
29 |
26 27 28
|
3anbi123i |
|- ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) <-> ( E =/= D /\ F =/= D /\ G =/= D ) ) |
30 |
29
|
biimpi |
|- ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) -> ( E =/= D /\ F =/= D /\ G =/= D ) ) |
31 |
30
|
adantr |
|- ( ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) -> ( E =/= D /\ F =/= D /\ G =/= D ) ) |
32 |
31
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) -> ( E =/= D /\ F =/= D /\ G =/= D ) ) |
33 |
|
disjtpsn |
|- ( ( E =/= D /\ F =/= D /\ G =/= D ) -> ( { E , F , G } i^i { D } ) = (/) ) |
34 |
32 33
|
syl |
|- ( ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) -> ( { E , F , G } i^i { D } ) = (/) ) |
35 |
34
|
adantl |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( { E , F , G } i^i { D } ) = (/) ) |
36 |
25 35
|
eqtrid |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( { D } i^i { E , F , G } ) = (/) ) |
37 |
24 36
|
jca |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( ( { A , B , C } i^i { E , F , G } ) = (/) /\ ( { D } i^i { E , F , G } ) = (/) ) ) |
38 |
|
undisj1 |
|- ( ( ( { A , B , C } i^i { E , F , G } ) = (/) /\ ( { D } i^i { E , F , G } ) = (/) ) <-> ( ( { A , B , C } u. { D } ) i^i { E , F , G } ) = (/) ) |
39 |
37 38
|
sylib |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( ( { A , B , C } u. { D } ) i^i { E , F , G } ) = (/) ) |
40 |
|
hashun |
|- ( ( ( { A , B , C } u. { D } ) e. Fin /\ { E , F , G } e. Fin /\ ( ( { A , B , C } u. { D } ) i^i { E , F , G } ) = (/) ) -> ( # ` ( ( { A , B , C } u. { D } ) u. { E , F , G } ) ) = ( ( # ` ( { A , B , C } u. { D } ) ) + ( # ` { E , F , G } ) ) ) |
41 |
4 5 39 40
|
mp3an12i |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( # ` ( ( { A , B , C } u. { D } ) u. { E , F , G } ) ) = ( ( # ` ( { A , B , C } u. { D } ) ) + ( # ` { E , F , G } ) ) ) |
42 |
|
simp3 |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) -> A =/= D ) |
43 |
42
|
adantr |
|- ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) -> A =/= D ) |
44 |
|
simplr |
|- ( ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) -> B =/= D ) |
45 |
|
simpl |
|- ( ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) -> C =/= D ) |
46 |
43 44 45
|
3anim123i |
|- ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) -> ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) |
47 |
46
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) -> ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) ) |
48 |
|
disjtpsn |
|- ( ( A =/= D /\ B =/= D /\ C =/= D ) -> ( { A , B , C } i^i { D } ) = (/) ) |
49 |
47 48
|
syl |
|- ( ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) -> ( { A , B , C } i^i { D } ) = (/) ) |
50 |
49
|
adantl |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( { A , B , C } i^i { D } ) = (/) ) |
51 |
|
hashun |
|- ( ( { A , B , C } e. Fin /\ { D } e. Fin /\ ( { A , B , C } i^i { D } ) = (/) ) -> ( # ` ( { A , B , C } u. { D } ) ) = ( ( # ` { A , B , C } ) + ( # ` { D } ) ) ) |
52 |
1 2 50 51
|
mp3an12i |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( # ` ( { A , B , C } u. { D } ) ) = ( ( # ` { A , B , C } ) + ( # ` { D } ) ) ) |
53 |
|
simp1l1 |
|- ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) -> A =/= B ) |
54 |
|
simp2ll |
|- ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) -> B =/= C ) |
55 |
|
simp2 |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) -> A =/= C ) |
56 |
55
|
necomd |
|- ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) -> C =/= A ) |
57 |
56
|
adantr |
|- ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) -> C =/= A ) |
58 |
57
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) -> C =/= A ) |
59 |
53 54 58
|
3jca |
|- ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) -> ( A =/= B /\ B =/= C /\ C =/= A ) ) |
60 |
59
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) -> ( A =/= B /\ B =/= C /\ C =/= A ) ) |
61 |
60
|
adantl |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( A =/= B /\ B =/= C /\ C =/= A ) ) |
62 |
|
hashtpg |
|- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) -> ( ( A =/= B /\ B =/= C /\ C =/= A ) <-> ( # ` { A , B , C } ) = 3 ) ) |
63 |
62
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) -> ( ( A =/= B /\ B =/= C /\ C =/= A ) <-> ( # ` { A , B , C } ) = 3 ) ) |
64 |
63
|
adantr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( ( A =/= B /\ B =/= C /\ C =/= A ) <-> ( # ` { A , B , C } ) = 3 ) ) |
65 |
61 64
|
mpbid |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( # ` { A , B , C } ) = 3 ) |
66 |
|
hashsng |
|- ( D e. V -> ( # ` { D } ) = 1 ) |
67 |
66
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) -> ( # ` { D } ) = 1 ) |
68 |
67
|
adantr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( # ` { D } ) = 1 ) |
69 |
65 68
|
oveq12d |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( ( # ` { A , B , C } ) + ( # ` { D } ) ) = ( 3 + 1 ) ) |
70 |
52 69
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( # ` ( { A , B , C } u. { D } ) ) = ( 3 + 1 ) ) |
71 |
|
simp1 |
|- ( ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) -> E =/= F ) |
72 |
|
simp3 |
|- ( ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) -> F =/= G ) |
73 |
|
simp2 |
|- ( ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) -> E =/= G ) |
74 |
73
|
necomd |
|- ( ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) -> G =/= E ) |
75 |
71 72 74
|
3jca |
|- ( ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) -> ( E =/= F /\ F =/= G /\ G =/= E ) ) |
76 |
75
|
adantl |
|- ( ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) -> ( E =/= F /\ F =/= G /\ G =/= E ) ) |
77 |
76
|
adantl |
|- ( ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) -> ( E =/= F /\ F =/= G /\ G =/= E ) ) |
78 |
77
|
adantl |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( E =/= F /\ F =/= G /\ G =/= E ) ) |
79 |
|
hashtpg |
|- ( ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) -> ( ( E =/= F /\ F =/= G /\ G =/= E ) <-> ( # ` { E , F , G } ) = 3 ) ) |
80 |
79
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) -> ( ( E =/= F /\ F =/= G /\ G =/= E ) <-> ( # ` { E , F , G } ) = 3 ) ) |
81 |
80
|
adantr |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( ( E =/= F /\ F =/= G /\ G =/= E ) <-> ( # ` { E , F , G } ) = 3 ) ) |
82 |
78 81
|
mpbid |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( # ` { E , F , G } ) = 3 ) |
83 |
70 82
|
oveq12d |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( ( # ` ( { A , B , C } u. { D } ) ) + ( # ` { E , F , G } ) ) = ( ( 3 + 1 ) + 3 ) ) |
84 |
|
3p1e4 |
|- ( 3 + 1 ) = 4 |
85 |
84
|
oveq1i |
|- ( ( 3 + 1 ) + 3 ) = ( 4 + 3 ) |
86 |
|
4p3e7 |
|- ( 4 + 3 ) = 7 |
87 |
85 86
|
eqtri |
|- ( ( 3 + 1 ) + 3 ) = 7 |
88 |
83 87
|
eqtrdi |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( ( # ` ( { A , B , C } u. { D } ) ) + ( # ` { E , F , G } ) ) = 7 ) |
89 |
41 88
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) /\ D e. V /\ ( E e. V /\ F e. V /\ G e. V ) ) /\ ( ( ( ( A =/= B /\ A =/= C /\ A =/= D ) /\ ( A =/= E /\ A =/= F /\ A =/= G ) ) /\ ( ( B =/= C /\ B =/= D ) /\ ( B =/= E /\ B =/= F /\ B =/= G ) ) /\ ( C =/= D /\ ( C =/= E /\ C =/= F /\ C =/= G ) ) ) /\ ( ( D =/= E /\ D =/= F /\ D =/= G ) /\ ( E =/= F /\ E =/= G /\ F =/= G ) ) ) ) -> ( # ` ( ( { A , B , C } u. { D } ) u. { E , F , G } ) ) = 7 ) |