Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ishlg.p |
|- P = ( Base ` G ) |
2 |
|
ishlg.i |
|- I = ( Itv ` G ) |
3 |
|
ishlg.k |
|- K = ( hlG ` G ) |
4 |
|
ishlg.a |
|- ( ph -> A e. P ) |
5 |
|
ishlg.b |
|- ( ph -> B e. P ) |
6 |
|
ishlg.c |
|- ( ph -> C e. P ) |
7 |
|
hlln.1 |
|- ( ph -> G e. TarskiG ) |
8 |
|
hltr.d |
|- ( ph -> D e. P ) |
9 |
|
hlcgrex.m |
|- .- = ( dist ` G ) |
10 |
|
hlcgrex.1 |
|- ( ph -> D =/= A ) |
11 |
|
hlcgrex.2 |
|- ( ph -> B =/= C ) |
12 |
|
hlcgreulem.x |
|- ( ph -> X e. P ) |
13 |
|
hlcgreulem.y |
|- ( ph -> Y e. P ) |
14 |
|
hlcgreulem.1 |
|- ( ph -> X ( K ` A ) D ) |
15 |
|
hlcgreulem.2 |
|- ( ph -> Y ( K ` A ) D ) |
16 |
|
hlcgreulem.3 |
|- ( ph -> ( A .- X ) = ( B .- C ) ) |
17 |
|
hlcgreulem.4 |
|- ( ph -> ( A .- Y ) = ( B .- C ) ) |
18 |
7
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> G e. TarskiG ) |
19 |
4
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> A e. P ) |
20 |
5
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> B e. P ) |
21 |
6
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> C e. P ) |
22 |
|
simplr |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> y e. P ) |
23 |
12
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> X e. P ) |
24 |
13
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> Y e. P ) |
25 |
|
simprr |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> A =/= y ) |
26 |
25
|
necomd |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> y =/= A ) |
27 |
8
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> D e. P ) |
28 |
1 2 3 12 8 4 7 14
|
hlcomd |
|- ( ph -> D ( K ` A ) X ) |
29 |
28
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> D ( K ` A ) X ) |
30 |
|
simprl |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> A e. ( D I y ) ) |
31 |
1 2 3 27 23 22 18 19 29 30
|
btwnhl |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> A e. ( X I y ) ) |
32 |
1 9 2 18 23 19 22 31
|
tgbtwncom |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> A e. ( y I X ) ) |
33 |
1 2 3 13 8 4 7 15
|
hlcomd |
|- ( ph -> D ( K ` A ) Y ) |
34 |
33
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> D ( K ` A ) Y ) |
35 |
1 2 3 27 24 22 18 19 34 30
|
btwnhl |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> A e. ( Y I y ) ) |
36 |
1 9 2 18 24 19 22 35
|
tgbtwncom |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> A e. ( y I Y ) ) |
37 |
16
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> ( A .- X ) = ( B .- C ) ) |
38 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> ( A .- Y ) = ( B .- C ) ) |
39 |
1 9 2 18 19 20 21 22 23 24 26 32 36 37 38
|
tgsegconeq |
|- ( ( ( ph /\ y e. P ) /\ ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) -> X = Y ) |
40 |
1
|
fvexi |
|- P e. _V |
41 |
40
|
a1i |
|- ( ph -> P e. _V ) |
42 |
41 5 6 11
|
nehash2 |
|- ( ph -> 2 <_ ( # ` P ) ) |
43 |
1 9 2 7 8 4 42
|
tgbtwndiff |
|- ( ph -> E. y e. P ( A e. ( D I y ) /\ A =/= y ) ) |
44 |
39 43
|
r19.29a |
|- ( ph -> X = Y ) |