Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
i1ff |
|- ( F e. dom S.1 -> F : RR --> RR ) |
2 |
1
|
feqmptd |
|- ( F e. dom S.1 -> F = ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) ) |
3 |
|
i1fmbf |
|- ( F e. dom S.1 -> F e. MblFn ) |
4 |
2 3
|
eqeltrrd |
|- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) e. MblFn ) |
5 |
|
simpr |
|- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> x e. RR ) |
6 |
5
|
biantrurd |
|- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( 0 <_ ( F ` x ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) ) ) |
7 |
6
|
ifbid |
|- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) = if ( ( x e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) , ( F ` x ) , 0 ) ) |
8 |
7
|
mpteq2dva |
|- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) |
9 |
8
|
fveq2d |
|- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) |
10 |
|
eqid |
|- ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) |
11 |
10
|
i1fpos |
|- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 ) |
12 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
13 |
1
|
ffvelrnda |
|- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR ) |
14 |
|
max1 |
|- ( ( 0 e. RR /\ ( F ` x ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) |
15 |
12 13 14
|
sylancr |
|- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) |
16 |
15
|
ralrimiva |
|- ( F e. dom S.1 -> A. x e. RR 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) |
17 |
|
reex |
|- RR e. _V |
18 |
17
|
a1i |
|- ( F e. dom S.1 -> RR e. _V ) |
19 |
12
|
a1i |
|- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> 0 e. RR ) |
20 |
|
fvex |
|- ( F ` x ) e. _V |
21 |
|
c0ex |
|- 0 e. _V |
22 |
20 21
|
ifex |
|- if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) e. _V |
23 |
22
|
a1i |
|- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) e. _V ) |
24 |
|
fconstmpt |
|- ( RR X. { 0 } ) = ( x e. RR |-> 0 ) |
25 |
24
|
a1i |
|- ( F e. dom S.1 -> ( RR X. { 0 } ) = ( x e. RR |-> 0 ) ) |
26 |
|
eqidd |
|- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) |
27 |
18 19 23 25 26
|
ofrfval2 |
|- ( F e. dom S.1 -> ( ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) |
28 |
16 27
|
mpbird |
|- ( F e. dom S.1 -> ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) |
29 |
|
ax-resscn |
|- RR C_ CC |
30 |
29
|
a1i |
|- ( F e. dom S.1 -> RR C_ CC ) |
31 |
22 10
|
fnmpti |
|- ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) Fn RR |
32 |
31
|
a1i |
|- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) Fn RR ) |
33 |
30 32
|
0pledm |
|- ( F e. dom S.1 -> ( 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) <-> ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) |
34 |
28 33
|
mpbird |
|- ( F e. dom S.1 -> 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) |
35 |
|
itg2itg1 |
|- ( ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 /\ 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) |
36 |
11 34 35
|
syl2anc |
|- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) |
37 |
9 36
|
eqtr3d |
|- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) |
38 |
|
itg1cl |
|- ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
39 |
11 38
|
syl |
|- ( F e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
40 |
37 39
|
eqeltrd |
|- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
41 |
5
|
biantrurd |
|- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( 0 <_ -u ( F ` x ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ -u ( F ` x ) ) ) ) |
42 |
41
|
ifbid |
|- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) = if ( ( x e. RR /\ 0 <_ -u ( F ` x ) ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) |
43 |
42
|
mpteq2dva |
|- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ -u ( F ` x ) ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) |
44 |
43
|
fveq2d |
|- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ -u ( F ` x ) ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) |
45 |
|
neg1rr |
|- -u 1 e. RR |
46 |
45
|
a1i |
|- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> -u 1 e. RR ) |
47 |
|
fconstmpt |
|- ( RR X. { -u 1 } ) = ( x e. RR |-> -u 1 ) |
48 |
47
|
a1i |
|- ( F e. dom S.1 -> ( RR X. { -u 1 } ) = ( x e. RR |-> -u 1 ) ) |
49 |
18 46 13 48 2
|
offval2 |
|- ( F e. dom S.1 -> ( ( RR X. { -u 1 } ) oF x. F ) = ( x e. RR |-> ( -u 1 x. ( F ` x ) ) ) ) |
50 |
13
|
recnd |
|- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. CC ) |
51 |
50
|
mulm1d |
|- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( -u 1 x. ( F ` x ) ) = -u ( F ` x ) ) |
52 |
51
|
mpteq2dva |
|- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> ( -u 1 x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( F ` x ) ) ) |
53 |
49 52
|
eqtrd |
|- ( F e. dom S.1 -> ( ( RR X. { -u 1 } ) oF x. F ) = ( x e. RR |-> -u ( F ` x ) ) ) |
54 |
|
id |
|- ( F e. dom S.1 -> F e. dom S.1 ) |
55 |
45
|
a1i |
|- ( F e. dom S.1 -> -u 1 e. RR ) |
56 |
54 55
|
i1fmulc |
|- ( F e. dom S.1 -> ( ( RR X. { -u 1 } ) oF x. F ) e. dom S.1 ) |
57 |
53 56
|
eqeltrrd |
|- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> -u ( F ` x ) ) e. dom S.1 ) |
58 |
57
|
i1fposd |
|- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 ) |
59 |
13
|
renegcld |
|- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> -u ( F ` x ) e. RR ) |
60 |
|
max1 |
|- ( ( 0 e. RR /\ -u ( F ` x ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) |
61 |
12 59 60
|
sylancr |
|- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) |
62 |
61
|
ralrimiva |
|- ( F e. dom S.1 -> A. x e. RR 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) |
63 |
|
negex |
|- -u ( F ` x ) e. _V |
64 |
63 21
|
ifex |
|- if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) e. _V |
65 |
64
|
a1i |
|- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) e. _V ) |
66 |
|
eqidd |
|- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) |
67 |
18 19 65 25 66
|
ofrfval2 |
|- ( F e. dom S.1 -> ( ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) |
68 |
62 67
|
mpbird |
|- ( F e. dom S.1 -> ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) |
69 |
|
eqid |
|- ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) |
70 |
64 69
|
fnmpti |
|- ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) Fn RR |
71 |
70
|
a1i |
|- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) Fn RR ) |
72 |
30 71
|
0pledm |
|- ( F e. dom S.1 -> ( 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) <-> ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) |
73 |
68 72
|
mpbird |
|- ( F e. dom S.1 -> 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) |
74 |
|
itg2itg1 |
|- ( ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 /\ 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) |
75 |
58 73 74
|
syl2anc |
|- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) |
76 |
44 75
|
eqtr3d |
|- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ -u ( F ` x ) ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) |
77 |
|
itg1cl |
|- ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
78 |
58 77
|
syl |
|- ( F e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
79 |
76 78
|
eqeltrd |
|- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ -u ( F ` x ) ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR ) |
80 |
13
|
iblrelem |
|- ( F e. dom S.1 -> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. RR /\ 0 <_ -u ( F ` x ) ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) ) |
81 |
4 40 79 80
|
mpbir3and |
|- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) e. L^1 ) |
82 |
2 81
|
eqeltrd |
|- ( F e. dom S.1 -> F e. L^1 ) |