Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dfmpt3 |
|- ( x e. O |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) ) = U_ x e. O ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) |
2 |
|
indval |
|- ( ( O e. V /\ A C_ O ) -> ( ( _Ind ` O ) ` A ) = ( x e. O |-> if ( x e. A , 1 , 0 ) ) ) |
3 |
|
undif |
|- ( A C_ O <-> ( A u. ( O \ A ) ) = O ) |
4 |
3
|
biimpi |
|- ( A C_ O -> ( A u. ( O \ A ) ) = O ) |
5 |
4
|
adantl |
|- ( ( O e. V /\ A C_ O ) -> ( A u. ( O \ A ) ) = O ) |
6 |
5
|
iuneq1d |
|- ( ( O e. V /\ A C_ O ) -> U_ x e. ( A u. ( O \ A ) ) ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) = U_ x e. O ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) ) |
7 |
1 2 6
|
3eqtr4a |
|- ( ( O e. V /\ A C_ O ) -> ( ( _Ind ` O ) ` A ) = U_ x e. ( A u. ( O \ A ) ) ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) ) |
8 |
|
iunxun |
|- U_ x e. ( A u. ( O \ A ) ) ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) = ( U_ x e. A ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) u. U_ x e. ( O \ A ) ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) ) |
9 |
7 8
|
eqtrdi |
|- ( ( O e. V /\ A C_ O ) -> ( ( _Ind ` O ) ` A ) = ( U_ x e. A ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) u. U_ x e. ( O \ A ) ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) ) ) |
10 |
|
iftrue |
|- ( x e. A -> if ( x e. A , 1 , 0 ) = 1 ) |
11 |
10
|
sneqd |
|- ( x e. A -> { if ( x e. A , 1 , 0 ) } = { 1 } ) |
12 |
11
|
xpeq2d |
|- ( x e. A -> ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) = ( { x } X. { 1 } ) ) |
13 |
12
|
iuneq2i |
|- U_ x e. A ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) = U_ x e. A ( { x } X. { 1 } ) |
14 |
|
iunxpconst |
|- U_ x e. A ( { x } X. { 1 } ) = ( A X. { 1 } ) |
15 |
13 14
|
eqtri |
|- U_ x e. A ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) = ( A X. { 1 } ) |
16 |
|
eldifn |
|- ( x e. ( O \ A ) -> -. x e. A ) |
17 |
|
iffalse |
|- ( -. x e. A -> if ( x e. A , 1 , 0 ) = 0 ) |
18 |
17
|
sneqd |
|- ( -. x e. A -> { if ( x e. A , 1 , 0 ) } = { 0 } ) |
19 |
16 18
|
syl |
|- ( x e. ( O \ A ) -> { if ( x e. A , 1 , 0 ) } = { 0 } ) |
20 |
19
|
xpeq2d |
|- ( x e. ( O \ A ) -> ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) = ( { x } X. { 0 } ) ) |
21 |
20
|
iuneq2i |
|- U_ x e. ( O \ A ) ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) = U_ x e. ( O \ A ) ( { x } X. { 0 } ) |
22 |
|
iunxpconst |
|- U_ x e. ( O \ A ) ( { x } X. { 0 } ) = ( ( O \ A ) X. { 0 } ) |
23 |
21 22
|
eqtri |
|- U_ x e. ( O \ A ) ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) = ( ( O \ A ) X. { 0 } ) |
24 |
15 23
|
uneq12i |
|- ( U_ x e. A ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) u. U_ x e. ( O \ A ) ( { x } X. { if ( x e. A , 1 , 0 ) } ) ) = ( ( A X. { 1 } ) u. ( ( O \ A ) X. { 0 } ) ) |
25 |
9 24
|
eqtrdi |
|- ( ( O e. V /\ A C_ O ) -> ( ( _Ind ` O ) ` A ) = ( ( A X. { 1 } ) u. ( ( O \ A ) X. { 0 } ) ) ) |