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Theorem ineleq

Description: Equivalence of restricted universal quantifications. (Contributed by Peter Mazsa, 29-May-2018)

Ref Expression
Assertion ineleq 
|- ( A. x e. A A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> A. x e. A A. z A. y e. B ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 orcom 
 |-  ( ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> ( ( C i^i D ) = (/) \/ x = y ) )
2 df-or 
 |-  ( ( ( C i^i D ) = (/) \/ x = y ) <-> ( -. ( C i^i D ) = (/) -> x = y ) )
3 neq0 
 |-  ( -. ( C i^i D ) = (/) <-> E. z z e. ( C i^i D ) )
4 elin 
 |-  ( z e. ( C i^i D ) <-> ( z e. C /\ z e. D ) )
5 4 exbii 
 |-  ( E. z z e. ( C i^i D ) <-> E. z ( z e. C /\ z e. D ) )
6 3 5 bitri 
 |-  ( -. ( C i^i D ) = (/) <-> E. z ( z e. C /\ z e. D ) )
7 6 imbi1i 
 |-  ( ( -. ( C i^i D ) = (/) -> x = y ) <-> ( E. z ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )
8 19.23v 
 |-  ( A. z ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) <-> ( E. z ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )
9 7 8 bitr4i 
 |-  ( ( -. ( C i^i D ) = (/) -> x = y ) <-> A. z ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )
10 1 2 9 3bitri 
 |-  ( ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> A. z ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )
11 10 ralbii 
 |-  ( A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> A. y e. B A. z ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )
12 ralcom4 
 |-  ( A. y e. B A. z ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) <-> A. z A. y e. B ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )
13 11 12 bitri 
 |-  ( A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> A. z A. y e. B ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )
14 13 ralbii 
 |-  ( A. x e. A A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> A. x e. A A. z A. y e. B ( ( z e. C /\ z e. D ) -> x = y ) )