Metamath Proof Explorer

Theorem iscyg3

Description: Definition of a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016)

Ref Expression
Hypotheses iscyg.1 
|- B = ( Base ` G )
iscyg.2 
|- .x. = ( .g ` G )
Assertion iscyg3 
|- ( G e. CycGrp <-> ( G e. Grp /\ E. x e. B A. y e. B E. n e. ZZ y = ( n .x. x ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iscyg.1 
 |-  B = ( Base ` G )
2 iscyg.2 
 |-  .x. = ( .g ` G )
3 1 2 iscyg 
 |-  ( G e. CycGrp <-> ( G e. Grp /\ E. x e. B ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) = B ) )
4 1 2 mulgcl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ n e. ZZ /\ x e. B ) -> ( n .x. x ) e. B )
5 4 3expa 
 |-  ( ( ( G e. Grp /\ n e. ZZ ) /\ x e. B ) -> ( n .x. x ) e. B )
6 5 an32s 
 |-  ( ( ( G e. Grp /\ x e. B ) /\ n e. ZZ ) -> ( n .x. x ) e. B )
7 6 fmpttd 
 |-  ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) : ZZ --> B )
8 frn 
 |-  ( ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) : ZZ --> B -> ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) C_ B )
9 eqss 
 |-  ( ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) = B <-> ( ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) C_ B /\ B C_ ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) ) )
10 9 baib 
 |-  ( ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) C_ B -> ( ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) = B <-> B C_ ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) ) )
11 7 8 10 3syl 
 |-  ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) = B <-> B C_ ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) ) )
12 dfss3 
 |-  ( B C_ ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) <-> A. y e. B y e. ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) )
13 eqid 
 |-  ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) = ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) )
14 ovex 
 |-  ( n .x. x ) e. _V
15 13 14 elrnmpti 
 |-  ( y e. ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) <-> E. n e. ZZ y = ( n .x. x ) )
16 15 ralbii 
 |-  ( A. y e. B y e. ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) <-> A. y e. B E. n e. ZZ y = ( n .x. x ) )
17 12 16 bitri 
 |-  ( B C_ ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) <-> A. y e. B E. n e. ZZ y = ( n .x. x ) )
18 11 17 bitrdi 
 |-  ( ( G e. Grp /\ x e. B ) -> ( ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) = B <-> A. y e. B E. n e. ZZ y = ( n .x. x ) ) )
19 18 rexbidva 
 |-  ( G e. Grp -> ( E. x e. B ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) = B <-> E. x e. B A. y e. B E. n e. ZZ y = ( n .x. x ) ) )
20 19 pm5.32i 
 |-  ( ( G e. Grp /\ E. x e. B ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. x ) ) = B ) <-> ( G e. Grp /\ E. x e. B A. y e. B E. n e. ZZ y = ( n .x. x ) ) )
21 3 20 bitri 
 |-  ( G e. CycGrp <-> ( G e. Grp /\ E. x e. B A. y e. B E. n e. ZZ y = ( n .x. x ) ) )