Theorem ispconn

Description: The property of being a path-connected topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015)

	Ref	Expression
Hypothesis	ispconn.1	|- X = U. J
Assertion	ispconn	|- ( J e. PConn <-> ( J e. Top /\ A. x e. X A. y e. X E. f e. ( II Cn J ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ispconn.1	|- X = U. J
2		unieq	|- ( j = J -> U. j = U. J )
3	2 1	eqtr4di	|- ( j = J -> U. j = X )
4		oveq2	|- ( j = J -> ( II Cn j ) = ( II Cn J ) )
5	4	rexeqdv	|- ( j = J -> ( E. f e. ( II Cn j ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) <-> E. f e. ( II Cn J ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
6	3 5	raleqbidv	|- ( j = J -> ( A. y e. U. j E. f e. ( II Cn j ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) <-> A. y e. X E. f e. ( II Cn J ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
7	3 6	raleqbidv	|- ( j = J -> ( A. x e. U. j A. y e. U. j E. f e. ( II Cn j ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) <-> A. x e. X A. y e. X E. f e. ( II Cn J ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
8		df-pconn	|- PConn = { j e. Top | A. x e. U. j A. y e. U. j E. f e. ( II Cn j ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) }
9	7 8	elrab2	|- ( J e. PConn <-> ( J e. Top /\ A. x e. X A. y e. X E. f e. ( II Cn J ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )