Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iunmapss.x |
|- F/ x ph |
2 |
|
iunmapss.a |
|- ( ph -> A e. V ) |
3 |
|
iunmapss.b |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. W ) |
4 |
3
|
ex |
|- ( ph -> ( x e. A -> B e. W ) ) |
5 |
1 4
|
ralrimi |
|- ( ph -> A. x e. A B e. W ) |
6 |
|
iunexg |
|- ( ( A e. V /\ A. x e. A B e. W ) -> U_ x e. A B e. _V ) |
7 |
2 5 6
|
syl2anc |
|- ( ph -> U_ x e. A B e. _V ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> U_ x e. A B e. _V ) |
9 |
|
ssiun2 |
|- ( x e. A -> B C_ U_ x e. A B ) |
10 |
9
|
adantl |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B C_ U_ x e. A B ) |
11 |
|
mapss |
|- ( ( U_ x e. A B e. _V /\ B C_ U_ x e. A B ) -> ( B ^m C ) C_ ( U_ x e. A B ^m C ) ) |
12 |
8 10 11
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B ^m C ) C_ ( U_ x e. A B ^m C ) ) |
13 |
12
|
ex |
|- ( ph -> ( x e. A -> ( B ^m C ) C_ ( U_ x e. A B ^m C ) ) ) |
14 |
1 13
|
ralrimi |
|- ( ph -> A. x e. A ( B ^m C ) C_ ( U_ x e. A B ^m C ) ) |
15 |
|
nfiu1 |
|- F/_ x U_ x e. A B |
16 |
|
nfcv |
|- F/_ x ^m |
17 |
|
nfcv |
|- F/_ x C |
18 |
15 16 17
|
nfov |
|- F/_ x ( U_ x e. A B ^m C ) |
19 |
18
|
iunssf |
|- ( U_ x e. A ( B ^m C ) C_ ( U_ x e. A B ^m C ) <-> A. x e. A ( B ^m C ) C_ ( U_ x e. A B ^m C ) ) |
20 |
14 19
|
sylibr |
|- ( ph -> U_ x e. A ( B ^m C ) C_ ( U_ x e. A B ^m C ) ) |