Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K rmY ( N + 1 ) ) <_ A ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
2 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K rmY ( N + 1 ) ) <_ A ) -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
3 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K rmY ( N + 1 ) ) <_ A ) -> N e. NN ) |
4 |
|
simpr |
|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K rmY ( N + 1 ) ) <_ A ) -> ( K rmY ( N + 1 ) ) <_ A ) |
5 |
1 2 3 4
|
jm3.1lem2 |
|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K rmY ( N + 1 ) ) <_ A ) -> ( K ^ N ) < ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) ) |
6 |
|
eluzge2nn0 |
|- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. NN0 ) |
7 |
6
|
3ad2ant2 |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> K e. NN0 ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K rmY ( N + 1 ) ) <_ A ) -> K e. NN0 ) |
9 |
3
|
nnnn0d |
|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K rmY ( N + 1 ) ) <_ A ) -> N e. NN0 ) |
10 |
|
jm2.18 |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A rmX N ) - ( ( A - K ) x. ( A rmY N ) ) ) - ( K ^ N ) ) ) |
11 |
1 8 9 10
|
syl3anc |
|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K rmY ( N + 1 ) ) <_ A ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A rmX N ) - ( ( A - K ) x. ( A rmY N ) ) ) - ( K ^ N ) ) ) |
12 |
|
simp1 |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) |
13 |
|
nnz |
|- ( N e. NN -> N e. ZZ ) |
14 |
13
|
3ad2ant3 |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. ZZ ) |
15 |
|
frmx |
|- rmX : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0 |
16 |
15
|
fovcl |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A rmX N ) e. NN0 ) |
17 |
12 14 16
|
syl2anc |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A rmX N ) e. NN0 ) |
18 |
17
|
nn0zd |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A rmX N ) e. ZZ ) |
19 |
|
eluzelz |
|- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ ) |
20 |
|
eluzelz |
|- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. ZZ ) |
21 |
|
zsubcl |
|- ( ( A e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A - K ) e. ZZ ) |
22 |
19 20 21
|
syl2an |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - K ) e. ZZ ) |
23 |
22
|
3adant3 |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A - K ) e. ZZ ) |
24 |
|
frmy |
|- rmY : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ |
25 |
24
|
fovcl |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A rmY N ) e. ZZ ) |
26 |
12 14 25
|
syl2anc |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A rmY N ) e. ZZ ) |
27 |
23 26
|
zmulcld |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A - K ) x. ( A rmY N ) ) e. ZZ ) |
28 |
18 27
|
zsubcld |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A rmX N ) - ( ( A - K ) x. ( A rmY N ) ) ) e. ZZ ) |
29 |
28
|
adantr |
|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K rmY ( N + 1 ) ) <_ A ) -> ( ( A rmX N ) - ( ( A - K ) x. ( A rmY N ) ) ) e. ZZ ) |
30 |
1 2 3 4
|
jm3.1lem3 |
|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K rmY ( N + 1 ) ) <_ A ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. NN ) |
31 |
|
nnnn0 |
|- ( N e. NN -> N e. NN0 ) |
32 |
31
|
3ad2ant3 |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. NN0 ) |
33 |
7 32
|
nn0expcld |
|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( K ^ N ) e. NN0 ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K rmY ( N + 1 ) ) <_ A ) -> ( K ^ N ) e. NN0 ) |
35 |
|
divalgmodcl |
|- ( ( ( ( A rmX N ) - ( ( A - K ) x. ( A rmY N ) ) ) e. ZZ /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. NN /\ ( K ^ N ) e. NN0 ) -> ( ( K ^ N ) = ( ( ( A rmX N ) - ( ( A - K ) x. ( A rmY N ) ) ) mod ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) ) <-> ( ( K ^ N ) < ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A rmX N ) - ( ( A - K ) x. ( A rmY N ) ) ) - ( K ^ N ) ) ) ) ) |
36 |
29 30 34 35
|
syl3anc |
|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K rmY ( N + 1 ) ) <_ A ) -> ( ( K ^ N ) = ( ( ( A rmX N ) - ( ( A - K ) x. ( A rmY N ) ) ) mod ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) ) <-> ( ( K ^ N ) < ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) /\ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) || ( ( ( A rmX N ) - ( ( A - K ) x. ( A rmY N ) ) ) - ( K ^ N ) ) ) ) ) |
37 |
5 11 36
|
mpbir2and |
|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) /\ ( K rmY ( N + 1 ) ) <_ A ) -> ( K ^ N ) = ( ( ( A rmX N ) - ( ( A - K ) x. ( A rmY N ) ) ) mod ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) ) ) |