Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐾 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ 𝐴 ) → 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
2 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐾 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
3 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐾 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ 𝐴 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
4 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐾 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ 𝐴 ) → ( 𝐾 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ 𝐴 ) |
5 |
1 2 3 4
|
jm3.1lem2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐾 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ 𝐴 ) → ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) < ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ) |
6 |
|
eluzge2nn0 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝐾 ∈ ℕ0 ) |
7 |
6
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → 𝐾 ∈ ℕ0 ) |
8 |
7
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐾 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ ℕ0 ) |
9 |
3
|
nnnn0d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐾 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ 𝐴 ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
10 |
|
jm2.18 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ) → ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ∥ ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) − ( ( 𝐴 − 𝐾 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) − ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) ) ) |
11 |
1 8 9 10
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐾 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ 𝐴 ) → ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ∥ ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) − ( ( 𝐴 − 𝐾 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) − ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) ) ) |
12 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
13 |
|
nnz |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ ) |
14 |
13
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
15 |
|
frmx |
⊢ Xrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℕ0 |
16 |
15
|
fovcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
17 |
12 14 16
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
18 |
17
|
nn0zd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
19 |
|
eluzelz |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
20 |
|
eluzelz |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
21 |
|
zsubcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 − 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
22 |
19 20 21
|
syl2an |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝐴 − 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
23 |
22
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝐴 − 𝐾 ) ∈ ℤ ) |
24 |
|
frmy |
⊢ Yrm : ( ( ℤ≥ ‘ 2 ) × ℤ ) ⟶ ℤ |
25 |
24
|
fovcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
26 |
12 14 25
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ∈ ℤ ) |
27 |
23 26
|
zmulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐴 − 𝐾 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ∈ ℤ ) |
28 |
18 27
|
zsubcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) − ( ( 𝐴 − 𝐾 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℤ ) |
29 |
28
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐾 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ 𝐴 ) → ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) − ( ( 𝐴 − 𝐾 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℤ ) |
30 |
1 2 3 4
|
jm3.1lem3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐾 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ 𝐴 ) → ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ∈ ℕ ) |
31 |
|
nnnn0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
32 |
31
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
33 |
7 32
|
nn0expcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) → ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
34 |
33
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐾 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ 𝐴 ) → ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) |
35 |
|
divalgmodcl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) − ( ( 𝐴 − 𝐾 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) ∈ ℤ ∧ ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ∈ ℕ ∧ ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) − ( ( 𝐴 − 𝐾 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) mod ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ) ↔ ( ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) < ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ∧ ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ∥ ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) − ( ( 𝐴 − 𝐾 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) − ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) |
36 |
29 30 34 35
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐾 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ 𝐴 ) → ( ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) − ( ( 𝐴 − 𝐾 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) mod ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ) ↔ ( ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) < ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ∧ ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ∥ ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) − ( ( 𝐴 − 𝐾 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) − ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) ) ) ) ) |
37 |
5 11 36
|
mpbir2and |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ ) ∧ ( 𝐾 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ 𝐴 ) → ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) = ( ( ( 𝐴 Xrm 𝑁 ) − ( ( 𝐴 − 𝐾 ) · ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) mod ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ) ) |