Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
jm3.1.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
2 |
|
jm3.1.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
3 |
|
jm3.1.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ ) |
4 |
|
jm3.1.d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 Yrm ( 𝑁 + 1 ) ) ≤ 𝐴 ) |
5 |
|
eluzelre |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝐾 ∈ ℝ ) |
6 |
2 5
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ ) |
7 |
3
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0 ) |
8 |
6 7
|
reexpcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) ∈ ℝ ) |
9 |
|
eluzelre |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
10 |
1 9
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
11 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
12 |
|
remulcl |
⊢ ( ( 2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( 2 · 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
13 |
11 10 12
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
14 |
13 6
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
15 |
6
|
resqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
16 |
14 15
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
17 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
18 |
|
resubcl |
⊢ ( ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) → ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ∈ ℝ ) |
19 |
16 17 18
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ∈ ℝ ) |
20 |
1 2 3 4
|
jm3.1lem1 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) < 𝐴 ) |
21 |
10 6
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 · 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
22 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℝ ) |
23 |
6 17 22
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℝ ) |
24 |
21 23
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐾 − 1 ) ) ∈ ℝ ) |
25 |
|
eluz2b1 |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↔ ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐾 ) ) |
26 |
25
|
simprbi |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 1 < 𝐾 ) |
27 |
2 26
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 1 < 𝐾 ) |
28 |
|
eluz2nn |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝐴 ∈ ℕ ) |
29 |
1 28
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ ) |
30 |
29
|
nngt0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝐴 ) |
31 |
|
ltmulgt11 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ) → ( 1 < 𝐾 ↔ 𝐴 < ( 𝐴 · 𝐾 ) ) ) |
32 |
10 6 30 31
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 < 𝐾 ↔ 𝐴 < ( 𝐴 · 𝐾 ) ) ) |
33 |
27 32
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < ( 𝐴 · 𝐾 ) ) |
34 |
|
uz2m1nn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℕ ) |
35 |
2 34
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℕ ) |
36 |
35
|
nnrpd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 − 1 ) ∈ ℝ+ ) |
37 |
21 36
|
ltaddrpd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 · 𝐾 ) < ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐾 − 1 ) ) ) |
38 |
10 21 24 33 37
|
lttrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐾 − 1 ) ) ) |
39 |
|
peano2re |
⊢ ( 𝐾 ∈ ℝ → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ ) |
40 |
6 39
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ ) |
41 |
40 6
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) ∈ ℝ ) |
42 |
|
resubcl |
⊢ ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) ∈ ℝ ) |
43 |
21 17 42
|
sylancl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) ∈ ℝ ) |
44 |
43 15
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
45 |
6
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℂ ) |
46 |
45
|
exp1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ↑ 1 ) = 𝐾 ) |
47 |
|
eluz2nn |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝐾 ∈ ℕ ) |
48 |
2 47
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ ) |
49 |
48
|
nnge1d |
⊢ ( 𝜑 → 1 ≤ 𝐾 ) |
50 |
|
nnuz |
⊢ ℕ = ( ℤ≥ ‘ 1 ) |
51 |
3 50
|
eleqtrdi |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 1 ) ) |
52 |
6 49 51
|
leexp2ad |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ↑ 1 ) ≤ ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) ) |
53 |
46 52
|
eqbrtrrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ≤ ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) ) |
54 |
6 8 10 53 20
|
lelttrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 < 𝐴 ) |
55 |
|
eluzelz |
⊢ ( 𝐾 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝐾 ∈ ℤ ) |
56 |
2 55
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ ) |
57 |
|
eluzelz |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝐴 ∈ ℤ ) |
58 |
1 57
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ ) |
59 |
|
zltp1le |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 < 𝐴 ↔ ( 𝐾 + 1 ) ≤ 𝐴 ) ) |
60 |
56 58 59
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 < 𝐴 ↔ ( 𝐾 + 1 ) ≤ 𝐴 ) ) |
61 |
54 60
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 + 1 ) ≤ 𝐴 ) |
62 |
48
|
nngt0d |
⊢ ( 𝜑 → 0 < 𝐾 ) |
63 |
|
lemul1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 + 1 ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ ( 𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾 ) ) → ( ( 𝐾 + 1 ) ≤ 𝐴 ↔ ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) ≤ ( 𝐴 · 𝐾 ) ) ) |
64 |
40 10 6 62 63
|
syl112anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐾 + 1 ) ≤ 𝐴 ↔ ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) ≤ ( 𝐴 · 𝐾 ) ) ) |
65 |
61 64
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) ≤ ( 𝐴 · 𝐾 ) ) |
66 |
41 21 44 65
|
leadd1dd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) + ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ) ≤ ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ) ) |
67 |
21
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 · 𝐾 ) ∈ ℂ ) |
68 |
41 15
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
69 |
68
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
70 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ ) |
71 |
67 69 70
|
addsub12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( ( ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ) = ( ( ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) ) ) |
72 |
45 70 45
|
adddird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) = ( ( 𝐾 · 𝐾 ) + ( 1 · 𝐾 ) ) ) |
73 |
45
|
sqvald |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ↑ 2 ) = ( 𝐾 · 𝐾 ) ) |
74 |
72 73
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝐾 · 𝐾 ) + ( 1 · 𝐾 ) ) − ( 𝐾 · 𝐾 ) ) ) |
75 |
45 45
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 · 𝐾 ) ∈ ℂ ) |
76 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
77 |
|
mulcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ) → ( 1 · 𝐾 ) ∈ ℂ ) |
78 |
76 45 77
|
sylancr |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 · 𝐾 ) ∈ ℂ ) |
79 |
75 78
|
pncan2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐾 · 𝐾 ) + ( 1 · 𝐾 ) ) − ( 𝐾 · 𝐾 ) ) = ( 1 · 𝐾 ) ) |
80 |
45
|
mulid2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 1 · 𝐾 ) = 𝐾 ) |
81 |
74 79 80
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) = 𝐾 ) |
82 |
81
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) = ( 𝐾 − 1 ) ) |
83 |
82
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( ( ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐾 − 1 ) ) ) |
84 |
41
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) ∈ ℂ ) |
85 |
15
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
86 |
43
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) ∈ ℂ ) |
87 |
84 85 86
|
subadd23d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) ) = ( ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) + ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ) ) |
88 |
71 83 87
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐾 − 1 ) ) = ( ( ( 𝐾 + 1 ) · 𝐾 ) + ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ) ) |
89 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℂ ) |
90 |
10
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
91 |
89 90 45
|
mulassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) = ( 2 · ( 𝐴 · 𝐾 ) ) ) |
92 |
67
|
2timesd |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( 𝐴 · 𝐾 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐴 · 𝐾 ) ) ) |
93 |
91 92
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) = ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐴 · 𝐾 ) ) ) |
94 |
93
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐴 · 𝐾 ) ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ) |
95 |
94
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) = ( ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐴 · 𝐾 ) ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ) |
96 |
21 21
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐴 · 𝐾 ) ) ∈ ℝ ) |
97 |
96
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐴 · 𝐾 ) ) ∈ ℂ ) |
98 |
97 85 70
|
sub32d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐴 · 𝐾 ) ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) = ( ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐴 · 𝐾 ) ) − 1 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ) |
99 |
67 67 70
|
addsubassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐴 · 𝐾 ) ) − 1 ) = ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) ) ) |
100 |
99
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐴 · 𝐾 ) ) − 1 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ) |
101 |
67 86 85
|
addsubassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ) ) |
102 |
100 101
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐴 · 𝐾 ) ) − 1 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ) ) |
103 |
95 98 102
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) = ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( ( ( 𝐴 · 𝐾 ) − 1 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) ) ) |
104 |
66 88 103
|
3brtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 · 𝐾 ) + ( 𝐾 − 1 ) ) ≤ ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ) |
105 |
10 24 19 38 104
|
ltletrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 < ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ) |
106 |
8 10 19 20 105
|
lttrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ↑ 𝑁 ) < ( ( ( ( 2 · 𝐴 ) · 𝐾 ) − ( 𝐾 ↑ 2 ) ) − 1 ) ) |