Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
kbval |
|- ( ( C e. ~H /\ D e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( C ketbra D ) ` x ) = ( ( x .ih D ) .h C ) ) |
2 |
1
|
3expa |
|- ( ( ( C e. ~H /\ D e. ~H ) /\ x e. ~H ) -> ( ( C ketbra D ) ` x ) = ( ( x .ih D ) .h C ) ) |
3 |
2
|
adantll |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( C ketbra D ) ` x ) = ( ( x .ih D ) .h C ) ) |
4 |
3
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` ( ( C ketbra D ) ` x ) ) = ( ( A ketbra B ) ` ( ( x .ih D ) .h C ) ) ) |
5 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> A e. ~H ) |
6 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> B e. ~H ) |
7 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> x e. ~H ) |
8 |
|
simplrr |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> D e. ~H ) |
9 |
|
hicl |
|- ( ( x e. ~H /\ D e. ~H ) -> ( x .ih D ) e. CC ) |
10 |
7 8 9
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( x .ih D ) e. CC ) |
11 |
|
simplrl |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> C e. ~H ) |
12 |
|
hvmulcl |
|- ( ( ( x .ih D ) e. CC /\ C e. ~H ) -> ( ( x .ih D ) .h C ) e. ~H ) |
13 |
10 11 12
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( x .ih D ) .h C ) e. ~H ) |
14 |
|
kbval |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H /\ ( ( x .ih D ) .h C ) e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` ( ( x .ih D ) .h C ) ) = ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) ) |
15 |
5 6 13 14
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` ( ( x .ih D ) .h C ) ) = ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) ) |
16 |
4 15
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` ( ( C ketbra D ) ` x ) ) = ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) ) |
17 |
|
kbop |
|- ( ( C e. ~H /\ D e. ~H ) -> ( C ketbra D ) : ~H --> ~H ) |
18 |
17
|
adantl |
|- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( C ketbra D ) : ~H --> ~H ) |
19 |
|
fvco3 |
|- ( ( ( C ketbra D ) : ~H --> ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( A ketbra B ) ` ( ( C ketbra D ) ` x ) ) ) |
20 |
18 19
|
sylan |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( A ketbra B ) ` ( ( C ketbra D ) ` x ) ) ) |
21 |
|
kbval |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H /\ C e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` C ) = ( ( C .ih B ) .h A ) ) |
22 |
5 6 11 21
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` C ) = ( ( C .ih B ) .h A ) ) |
23 |
22
|
oveq2d |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( x .ih D ) .h ( ( A ketbra B ) ` C ) ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( C .ih B ) .h A ) ) ) |
24 |
|
kbop |
|- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( A ketbra B ) : ~H --> ~H ) |
25 |
24
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ C e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` C ) e. ~H ) |
26 |
25
|
adantrr |
|- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A ketbra B ) ` C ) e. ~H ) |
27 |
26
|
adantr |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( A ketbra B ) ` C ) e. ~H ) |
28 |
|
kbval |
|- ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) e. ~H /\ D e. ~H /\ x e. ~H ) -> ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( A ketbra B ) ` C ) ) ) |
29 |
27 8 7 28
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( A ketbra B ) ` C ) ) ) |
30 |
|
ax-his3 |
|- ( ( ( x .ih D ) e. CC /\ C e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) = ( ( x .ih D ) x. ( C .ih B ) ) ) |
31 |
10 11 6 30
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) = ( ( x .ih D ) x. ( C .ih B ) ) ) |
32 |
31
|
oveq1d |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) = ( ( ( x .ih D ) x. ( C .ih B ) ) .h A ) ) |
33 |
|
hicl |
|- ( ( C e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( C .ih B ) e. CC ) |
34 |
11 6 33
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( C .ih B ) e. CC ) |
35 |
|
ax-hvmulass |
|- ( ( ( x .ih D ) e. CC /\ ( C .ih B ) e. CC /\ A e. ~H ) -> ( ( ( x .ih D ) x. ( C .ih B ) ) .h A ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( C .ih B ) .h A ) ) ) |
36 |
10 34 5 35
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( x .ih D ) x. ( C .ih B ) ) .h A ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( C .ih B ) .h A ) ) ) |
37 |
32 36
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) = ( ( x .ih D ) .h ( ( C .ih B ) .h A ) ) ) |
38 |
23 29 37
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) = ( ( ( ( x .ih D ) .h C ) .ih B ) .h A ) ) |
39 |
16 20 38
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) /\ x e. ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) ) |
40 |
39
|
ralrimiva |
|- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> A. x e. ~H ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) ) |
41 |
|
fco |
|- ( ( ( A ketbra B ) : ~H --> ~H /\ ( C ketbra D ) : ~H --> ~H ) -> ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) : ~H --> ~H ) |
42 |
24 17 41
|
syl2an |
|- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) : ~H --> ~H ) |
43 |
|
kbop |
|- ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) e. ~H /\ D e. ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) : ~H --> ~H ) |
44 |
25 43
|
sylan |
|- ( ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ C e. ~H ) /\ D e. ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) : ~H --> ~H ) |
45 |
44
|
anasss |
|- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) : ~H --> ~H ) |
46 |
|
ffn |
|- ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) : ~H --> ~H -> ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) Fn ~H ) |
47 |
|
ffn |
|- ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) : ~H --> ~H -> ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) Fn ~H ) |
48 |
|
eqfnfv |
|- ( ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) Fn ~H /\ ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) Fn ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) = ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) <-> A. x e. ~H ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) ) ) |
49 |
46 47 48
|
syl2an |
|- ( ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) : ~H --> ~H /\ ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) : ~H --> ~H ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) = ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) <-> A. x e. ~H ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) ) ) |
50 |
42 45 49
|
syl2anc |
|- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) = ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) <-> A. x e. ~H ( ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) ` x ) = ( ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ` x ) ) ) |
51 |
40 50
|
mpbird |
|- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A ketbra B ) o. ( C ketbra D ) ) = ( ( ( A ketbra B ) ` C ) ketbra D ) ) |