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Theorem lrrecse

Description: Next, we show that R is set-like over No . (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024)

Ref Expression
Hypothesis lrrec.1
|- R = { <. x , y >. | x e. ( ( _L ` y ) u. ( _R ` y ) ) }
Assertion lrrecse
|- R Se No

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lrrec.1
 |-  R = { <. x , y >. | x e. ( ( _L ` y ) u. ( _R ` y ) ) }
2 df-se
 |-  ( R Se No <-> A. a e. No { b e. No | b R a } e. _V )
3 1 lrrecval
 |-  ( ( b e. No /\ a e. No ) -> ( b R a <-> b e. ( ( _L ` a ) u. ( _R ` a ) ) ) )
4 3 ancoms
 |-  ( ( a e. No /\ b e. No ) -> ( b R a <-> b e. ( ( _L ` a ) u. ( _R ` a ) ) ) )
5 4 rabbidva
 |-  ( a e. No -> { b e. No | b R a } = { b e. No | b e. ( ( _L ` a ) u. ( _R ` a ) ) } )
6 dfrab2
 |-  { b e. No | b e. ( ( _L ` a ) u. ( _R ` a ) ) } = ( { b | b e. ( ( _L ` a ) u. ( _R ` a ) ) } i^i No )
7 abid2
 |-  { b | b e. ( ( _L ` a ) u. ( _R ` a ) ) } = ( ( _L ` a ) u. ( _R ` a ) )
8 7 ineq1i
 |-  ( { b | b e. ( ( _L ` a ) u. ( _R ` a ) ) } i^i No ) = ( ( ( _L ` a ) u. ( _R ` a ) ) i^i No )
9 6 8 eqtri
 |-  { b e. No | b e. ( ( _L ` a ) u. ( _R ` a ) ) } = ( ( ( _L ` a ) u. ( _R ` a ) ) i^i No )
10 fvex
 |-  ( _L ` a ) e. _V
11 fvex
 |-  ( _R ` a ) e. _V
12 10 11 unex
 |-  ( ( _L ` a ) u. ( _R ` a ) ) e. _V
13 12 inex1
 |-  ( ( ( _L ` a ) u. ( _R ` a ) ) i^i No ) e. _V
14 9 13 eqeltri
 |-  { b e. No | b e. ( ( _L ` a ) u. ( _R ` a ) ) } e. _V
15 5 14 eqeltrdi
 |-  ( a e. No -> { b e. No | b R a } e. _V )
16 2 15 mprgbir
 |-  R Se No