Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lspsneu.v |
|- V = ( Base ` W ) |
2 |
|
lspsneu.s |
|- S = ( Scalar ` W ) |
3 |
|
lspsneu.k |
|- K = ( Base ` S ) |
4 |
|
lspsneu.o |
|- O = ( 0g ` S ) |
5 |
|
lspsneu.t |
|- .x. = ( .s ` W ) |
6 |
|
lspsneu.z |
|- .0. = ( 0g ` W ) |
7 |
|
lspsneu.n |
|- N = ( LSpan ` W ) |
8 |
|
lspsneu.w |
|- ( ph -> W e. LVec ) |
9 |
|
lspsneu.x |
|- ( ph -> X e. V ) |
10 |
|
lspsneu.y |
|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) ) |
11 |
10
|
eldifad |
|- ( ph -> Y e. V ) |
12 |
1 2 3 4 5 7 8 9 11
|
lspsneq |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) <-> E. j e. ( K \ { O } ) X = ( j .x. Y ) ) ) |
13 |
12
|
biimpd |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) -> E. j e. ( K \ { O } ) X = ( j .x. Y ) ) ) |
14 |
|
eqtr2 |
|- ( ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) -> ( j .x. Y ) = ( i .x. Y ) ) |
15 |
14
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ( ph /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) /\ ( j e. ( K \ { O } ) /\ i e. ( K \ { O } ) ) /\ ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) ) -> ( j .x. Y ) = ( i .x. Y ) ) |
16 |
|
simp1l |
|- ( ( ( ph /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) /\ ( j e. ( K \ { O } ) /\ i e. ( K \ { O } ) ) /\ ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) ) -> ph ) |
17 |
16 8
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) /\ ( j e. ( K \ { O } ) /\ i e. ( K \ { O } ) ) /\ ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) ) -> W e. LVec ) |
18 |
|
simp2l |
|- ( ( ( ph /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) /\ ( j e. ( K \ { O } ) /\ i e. ( K \ { O } ) ) /\ ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) ) -> j e. ( K \ { O } ) ) |
19 |
18
|
eldifad |
|- ( ( ( ph /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) /\ ( j e. ( K \ { O } ) /\ i e. ( K \ { O } ) ) /\ ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) ) -> j e. K ) |
20 |
|
simp2r |
|- ( ( ( ph /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) /\ ( j e. ( K \ { O } ) /\ i e. ( K \ { O } ) ) /\ ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) ) -> i e. ( K \ { O } ) ) |
21 |
20
|
eldifad |
|- ( ( ( ph /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) /\ ( j e. ( K \ { O } ) /\ i e. ( K \ { O } ) ) /\ ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) ) -> i e. K ) |
22 |
16 11
|
syl |
|- ( ( ( ph /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) /\ ( j e. ( K \ { O } ) /\ i e. ( K \ { O } ) ) /\ ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) ) -> Y e. V ) |
23 |
|
eldifsni |
|- ( Y e. ( V \ { .0. } ) -> Y =/= .0. ) |
24 |
16 10 23
|
3syl |
|- ( ( ( ph /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) /\ ( j e. ( K \ { O } ) /\ i e. ( K \ { O } ) ) /\ ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) ) -> Y =/= .0. ) |
25 |
1 5 2 3 6 17 19 21 22 24
|
lvecvscan2 |
|- ( ( ( ph /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) /\ ( j e. ( K \ { O } ) /\ i e. ( K \ { O } ) ) /\ ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) ) -> ( ( j .x. Y ) = ( i .x. Y ) <-> j = i ) ) |
26 |
15 25
|
mpbid |
|- ( ( ( ph /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) /\ ( j e. ( K \ { O } ) /\ i e. ( K \ { O } ) ) /\ ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) ) -> j = i ) |
27 |
26
|
3exp |
|- ( ( ph /\ ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) -> ( ( j e. ( K \ { O } ) /\ i e. ( K \ { O } ) ) -> ( ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) -> j = i ) ) ) |
28 |
27
|
ex |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) -> ( ( j e. ( K \ { O } ) /\ i e. ( K \ { O } ) ) -> ( ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) -> j = i ) ) ) ) |
29 |
28
|
ralrimdvv |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) -> A. j e. ( K \ { O } ) A. i e. ( K \ { O } ) ( ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) -> j = i ) ) ) |
30 |
13 29
|
jcad |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) -> ( E. j e. ( K \ { O } ) X = ( j .x. Y ) /\ A. j e. ( K \ { O } ) A. i e. ( K \ { O } ) ( ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) -> j = i ) ) ) ) |
31 |
|
oveq1 |
|- ( j = i -> ( j .x. Y ) = ( i .x. Y ) ) |
32 |
31
|
eqeq2d |
|- ( j = i -> ( X = ( j .x. Y ) <-> X = ( i .x. Y ) ) ) |
33 |
32
|
reu4 |
|- ( E! j e. ( K \ { O } ) X = ( j .x. Y ) <-> ( E. j e. ( K \ { O } ) X = ( j .x. Y ) /\ A. j e. ( K \ { O } ) A. i e. ( K \ { O } ) ( ( X = ( j .x. Y ) /\ X = ( i .x. Y ) ) -> j = i ) ) ) |
34 |
30 33
|
syl6ibr |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) -> E! j e. ( K \ { O } ) X = ( j .x. Y ) ) ) |
35 |
|
reurex |
|- ( E! j e. ( K \ { O } ) X = ( j .x. Y ) -> E. j e. ( K \ { O } ) X = ( j .x. Y ) ) |
36 |
35 12
|
syl5ibr |
|- ( ph -> ( E! j e. ( K \ { O } ) X = ( j .x. Y ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) ) ) |
37 |
34 36
|
impbid |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) <-> E! j e. ( K \ { O } ) X = ( j .x. Y ) ) ) |
38 |
|
oveq1 |
|- ( j = k -> ( j .x. Y ) = ( k .x. Y ) ) |
39 |
38
|
eqeq2d |
|- ( j = k -> ( X = ( j .x. Y ) <-> X = ( k .x. Y ) ) ) |
40 |
39
|
cbvreuvw |
|- ( E! j e. ( K \ { O } ) X = ( j .x. Y ) <-> E! k e. ( K \ { O } ) X = ( k .x. Y ) ) |
41 |
37 40
|
bitrdi |
|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) = ( N ` { Y } ) <-> E! k e. ( K \ { O } ) X = ( k .x. Y ) ) ) |