Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ltrniotavalb.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
ltrniotavalb.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
3 |
|
ltrniotavalb.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
ltrniotavalb.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
5 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) /\ ( F ` P ) = Q ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
6 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) /\ ( F ` P ) = Q ) -> F e. T ) |
7 |
|
simpl2l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) /\ ( F ` P ) = Q ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
8 |
|
simpl2r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) /\ ( F ` P ) = Q ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
9 |
|
eqid |
|- ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) = ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) |
10 |
1 2 3 4 9
|
ltrniotacl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) e. T ) |
11 |
5 7 8 10
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) /\ ( F ` P ) = Q ) -> ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) e. T ) |
12 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) /\ ( F ` P ) = Q ) -> ( F ` P ) = Q ) |
13 |
1 2 3 4 9
|
ltrniotaval |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) ` P ) = Q ) |
14 |
5 7 8 13
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) /\ ( F ` P ) = Q ) -> ( ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) ` P ) = Q ) |
15 |
12 14
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) /\ ( F ` P ) = Q ) -> ( F ` P ) = ( ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) ` P ) ) |
16 |
1 2 3 4
|
cdlemd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( F ` P ) = ( ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) ` P ) ) -> F = ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) ) |
17 |
5 6 11 7 15 16
|
syl311anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) /\ ( F ` P ) = Q ) -> F = ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) ) |
18 |
|
fveq1 |
|- ( F = ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) -> ( F ` P ) = ( ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) ` P ) ) |
19 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
20 |
|
simp2l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
21 |
|
simp2r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
22 |
19 20 21 13
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) ` P ) = Q ) |
23 |
18 22
|
sylan9eqr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) /\ F = ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) ) -> ( F ` P ) = Q ) |
24 |
17 23
|
impbida |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ F e. T ) -> ( ( F ` P ) = Q <-> F = ( iota_ f e. T ( f ` P ) = Q ) ) ) |