Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mdbr |
|- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH B <-> A. y e. CH ( y C_ B -> ( ( y vH A ) i^i B ) = ( y vH ( A i^i B ) ) ) ) ) |
2 |
|
chincl |
|- ( ( x e. CH /\ B e. CH ) -> ( x i^i B ) e. CH ) |
3 |
|
inss2 |
|- ( x i^i B ) C_ B |
4 |
|
sseq1 |
|- ( y = ( x i^i B ) -> ( y C_ B <-> ( x i^i B ) C_ B ) ) |
5 |
|
oveq1 |
|- ( y = ( x i^i B ) -> ( y vH A ) = ( ( x i^i B ) vH A ) ) |
6 |
5
|
ineq1d |
|- ( y = ( x i^i B ) -> ( ( y vH A ) i^i B ) = ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) ) |
7 |
|
oveq1 |
|- ( y = ( x i^i B ) -> ( y vH ( A i^i B ) ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) ) |
8 |
6 7
|
eqeq12d |
|- ( y = ( x i^i B ) -> ( ( ( y vH A ) i^i B ) = ( y vH ( A i^i B ) ) <-> ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) ) ) |
9 |
4 8
|
imbi12d |
|- ( y = ( x i^i B ) -> ( ( y C_ B -> ( ( y vH A ) i^i B ) = ( y vH ( A i^i B ) ) ) <-> ( ( x i^i B ) C_ B -> ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) ) ) ) |
10 |
9
|
rspcv |
|- ( ( x i^i B ) e. CH -> ( A. y e. CH ( y C_ B -> ( ( y vH A ) i^i B ) = ( y vH ( A i^i B ) ) ) -> ( ( x i^i B ) C_ B -> ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) ) ) ) |
11 |
3 10
|
mpii |
|- ( ( x i^i B ) e. CH -> ( A. y e. CH ( y C_ B -> ( ( y vH A ) i^i B ) = ( y vH ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) ) ) |
12 |
2 11
|
syl |
|- ( ( x e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ B -> ( ( y vH A ) i^i B ) = ( y vH ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) ) ) |
13 |
12
|
ex |
|- ( x e. CH -> ( B e. CH -> ( A. y e. CH ( y C_ B -> ( ( y vH A ) i^i B ) = ( y vH ( A i^i B ) ) ) -> ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) ) ) ) |
14 |
13
|
com3l |
|- ( B e. CH -> ( A. y e. CH ( y C_ B -> ( ( y vH A ) i^i B ) = ( y vH ( A i^i B ) ) ) -> ( x e. CH -> ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) ) ) ) |
15 |
14
|
ralrimdv |
|- ( B e. CH -> ( A. y e. CH ( y C_ B -> ( ( y vH A ) i^i B ) = ( y vH ( A i^i B ) ) ) -> A. x e. CH ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) ) ) |
16 |
|
dfss |
|- ( x C_ B <-> x = ( x i^i B ) ) |
17 |
16
|
biimpi |
|- ( x C_ B -> x = ( x i^i B ) ) |
18 |
17
|
oveq1d |
|- ( x C_ B -> ( x vH A ) = ( ( x i^i B ) vH A ) ) |
19 |
18
|
ineq1d |
|- ( x C_ B -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) ) |
20 |
17
|
oveq1d |
|- ( x C_ B -> ( x vH ( A i^i B ) ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) ) |
21 |
19 20
|
eqeq12d |
|- ( x C_ B -> ( ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) <-> ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) ) ) |
22 |
21
|
biimprcd |
|- ( ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) -> ( x C_ B -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) ) ) |
23 |
22
|
ralimi |
|- ( A. x e. CH ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) -> A. x e. CH ( x C_ B -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) ) ) |
24 |
|
sseq1 |
|- ( x = y -> ( x C_ B <-> y C_ B ) ) |
25 |
|
oveq1 |
|- ( x = y -> ( x vH A ) = ( y vH A ) ) |
26 |
25
|
ineq1d |
|- ( x = y -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( ( y vH A ) i^i B ) ) |
27 |
|
oveq1 |
|- ( x = y -> ( x vH ( A i^i B ) ) = ( y vH ( A i^i B ) ) ) |
28 |
26 27
|
eqeq12d |
|- ( x = y -> ( ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) <-> ( ( y vH A ) i^i B ) = ( y vH ( A i^i B ) ) ) ) |
29 |
24 28
|
imbi12d |
|- ( x = y -> ( ( x C_ B -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) ) <-> ( y C_ B -> ( ( y vH A ) i^i B ) = ( y vH ( A i^i B ) ) ) ) ) |
30 |
29
|
cbvralvw |
|- ( A. x e. CH ( x C_ B -> ( ( x vH A ) i^i B ) = ( x vH ( A i^i B ) ) ) <-> A. y e. CH ( y C_ B -> ( ( y vH A ) i^i B ) = ( y vH ( A i^i B ) ) ) ) |
31 |
23 30
|
sylib |
|- ( A. x e. CH ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) -> A. y e. CH ( y C_ B -> ( ( y vH A ) i^i B ) = ( y vH ( A i^i B ) ) ) ) |
32 |
15 31
|
impbid1 |
|- ( B e. CH -> ( A. y e. CH ( y C_ B -> ( ( y vH A ) i^i B ) = ( y vH ( A i^i B ) ) ) <-> A. x e. CH ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) ) ) |
33 |
32
|
adantl |
|- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A. y e. CH ( y C_ B -> ( ( y vH A ) i^i B ) = ( y vH ( A i^i B ) ) ) <-> A. x e. CH ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) ) ) |
34 |
1 33
|
bitrd |
|- ( ( A e. CH /\ B e. CH ) -> ( A MH B <-> A. x e. CH ( ( ( x i^i B ) vH A ) i^i B ) = ( ( x i^i B ) vH ( A i^i B ) ) ) ) |