Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mendplusgfval.a |
|- A = ( MEndo ` M ) |
2 |
|
mendplusgfval.b |
|- B = ( Base ` A ) |
3 |
|
mendplusgfval.p |
|- .+ = ( +g ` M ) |
4 |
1
|
mendbas |
|- ( M LMHom M ) = ( Base ` A ) |
5 |
2 4
|
eqtr4i |
|- B = ( M LMHom M ) |
6 |
|
ofeq |
|- ( .+ = ( +g ` M ) -> oF .+ = oF ( +g ` M ) ) |
7 |
3 6
|
ax-mp |
|- oF .+ = oF ( +g ` M ) |
8 |
7
|
oveqi |
|- ( x oF .+ y ) = ( x oF ( +g ` M ) y ) |
9 |
8
|
a1i |
|- ( ( x e. B /\ y e. B ) -> ( x oF .+ y ) = ( x oF ( +g ` M ) y ) ) |
10 |
9
|
mpoeq3ia |
|- ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x oF ( +g ` M ) y ) ) |
11 |
|
eqid |
|- ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) |
12 |
|
eqid |
|- ( Scalar ` M ) = ( Scalar ` M ) |
13 |
|
eqid |
|- ( x e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) = ( x e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) |
14 |
5 10 11 12 13
|
mendval |
|- ( M e. _V -> ( MEndo ` M ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , ( Scalar ` M ) >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) >. } ) ) |
15 |
1 14
|
syl5eq |
|- ( M e. _V -> A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , ( Scalar ` M ) >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) >. } ) ) |
16 |
15
|
fveq2d |
|- ( M e. _V -> ( +g ` A ) = ( +g ` ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , ( Scalar ` M ) >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) >. } ) ) ) |
17 |
2
|
fvexi |
|- B e. _V |
18 |
17 17
|
mpoex |
|- ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) e. _V |
19 |
|
eqid |
|- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , ( Scalar ` M ) >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , ( Scalar ` M ) >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) >. } ) |
20 |
19
|
algaddg |
|- ( ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) e. _V -> ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) = ( +g ` ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , ( Scalar ` M ) >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) >. } ) ) ) |
21 |
18 20
|
mp1i |
|- ( M e. _V -> ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) = ( +g ` ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) >. } u. { <. ( Scalar ` ndx ) , ( Scalar ` M ) >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` ( Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) >. } ) ) ) |
22 |
16 21
|
eqtr4d |
|- ( M e. _V -> ( +g ` A ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) ) |
23 |
|
fvprc |
|- ( -. M e. _V -> ( MEndo ` M ) = (/) ) |
24 |
1 23
|
syl5eq |
|- ( -. M e. _V -> A = (/) ) |
25 |
24
|
fveq2d |
|- ( -. M e. _V -> ( +g ` A ) = ( +g ` (/) ) ) |
26 |
|
plusgid |
|- +g = Slot ( +g ` ndx ) |
27 |
26
|
str0 |
|- (/) = ( +g ` (/) ) |
28 |
25 27
|
eqtr4di |
|- ( -. M e. _V -> ( +g ` A ) = (/) ) |
29 |
24
|
fveq2d |
|- ( -. M e. _V -> ( Base ` A ) = ( Base ` (/) ) ) |
30 |
|
base0 |
|- (/) = ( Base ` (/) ) |
31 |
29 2 30
|
3eqtr4g |
|- ( -. M e. _V -> B = (/) ) |
32 |
31
|
olcd |
|- ( -. M e. _V -> ( B = (/) \/ B = (/) ) ) |
33 |
|
0mpo0 |
|- ( ( B = (/) \/ B = (/) ) -> ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) = (/) ) |
34 |
32 33
|
syl |
|- ( -. M e. _V -> ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) = (/) ) |
35 |
28 34
|
eqtr4d |
|- ( -. M e. _V -> ( +g ` A ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) ) |
36 |
22 35
|
pm2.61i |
|- ( +g ` A ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x oF .+ y ) ) |