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Theorem mopnex

Description: The topology generated by an extended metric can also be generated by a true metric. Thus, "metrizable topologies" can equivalently be defined in terms of metrics or extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015)

Ref Expression
Hypothesis mopnex.1
|- J = ( MetOpen ` D )
Assertion mopnex
|- ( D e. ( *Met ` X ) -> E. d e. ( Met ` X ) J = ( MetOpen ` d ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mopnex.1
 |-  J = ( MetOpen ` D )
2 1rp
 |-  1 e. RR+
3 eqid
 |-  ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) )
4 3 stdbdmet
 |-  ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR+ ) -> ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
5 2 4 mpan2
 |-  ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) )
6 1xr
 |-  1 e. RR*
7 0lt1
 |-  0 < 1
8 3 1 stdbdmopn
 |-  ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> J = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) ) )
9 6 7 8 mp3an23
 |-  ( D e. ( *Met ` X ) -> J = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) ) )
10 fveq2
 |-  ( d = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) -> ( MetOpen ` d ) = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) ) )
11 10 rspceeqv
 |-  ( ( ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) ) ) -> E. d e. ( Met ` X ) J = ( MetOpen ` d ) )
12 5 9 11 syl2anc
 |-  ( D e. ( *Met ` X ) -> E. d e. ( Met ` X ) J = ( MetOpen ` d ) )