Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mopnex.1 |
|- J = ( MetOpen ` D ) |
2 |
|
1rp |
|- 1 e. RR+ |
3 |
|
eqid |
|- ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) |
4 |
3
|
stdbdmet |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR+ ) -> ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) ) |
5 |
2 4
|
mpan2 |
|- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) ) |
6 |
|
1xr |
|- 1 e. RR* |
7 |
|
0lt1 |
|- 0 < 1 |
8 |
3 1
|
stdbdmopn |
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ 1 e. RR* /\ 0 < 1 ) -> J = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) ) ) |
9 |
6 7 8
|
mp3an23 |
|- ( D e. ( *Met ` X ) -> J = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) ) ) |
10 |
|
fveq2 |
|- ( d = ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) -> ( MetOpen ` d ) = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) ) ) |
11 |
10
|
rspceeqv |
|- ( ( ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) e. ( Met ` X ) /\ J = ( MetOpen ` ( x e. X , y e. X |-> if ( ( x D y ) <_ 1 , ( x D y ) , 1 ) ) ) ) -> E. d e. ( Met ` X ) J = ( MetOpen ` d ) ) |
12 |
5 9 11
|
syl2anc |
|- ( D e. ( *Met ` X ) -> E. d e. ( Met ` X ) J = ( MetOpen ` d ) ) |