Theorem muladd

Description: Product of two sums. (Contributed by NM, 14-Jan-2006) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011)

	Ref	Expression
Assertion	muladd	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. ( C + D ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( ( A x. D ) + ( C x. B ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A + B ) e. CC )
2		adddi	|- ( ( ( A + B ) e. CC /\ C e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( A + B ) x. ( C + D ) ) = ( ( ( A + B ) x. C ) + ( ( A + B ) x. D ) ) )
3	2	3expb	|- ( ( ( A + B ) e. CC /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. ( C + D ) ) = ( ( ( A + B ) x. C ) + ( ( A + B ) x. D ) ) )
4	1 3	sylan	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. ( C + D ) ) = ( ( ( A + B ) x. C ) + ( ( A + B ) x. D ) ) )
5		adddir	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) x. C ) = ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) )
6	5	3expa	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ C e. CC ) -> ( ( A + B ) x. C ) = ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) )
7	6	adantrr	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. C ) = ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) )
8		adddir	|- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ D e. CC ) -> ( ( A + B ) x. D ) = ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) )
9	8	3expa	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ D e. CC ) -> ( ( A + B ) x. D ) = ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) )
10	9	adantrl	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. D ) = ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) )
11	7 10	oveq12d	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A + B ) x. C ) + ( ( A + B ) x. D ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) )
12		mulcl	|- ( ( A e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. C ) e. CC )
13	12	ad2ant2r	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( A x. C ) e. CC )
14		mulcl	|- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) e. CC )
15	14	ad2ant2lr	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B x. C ) e. CC )
16		mulcl	|- ( ( A e. CC /\ D e. CC ) -> ( A x. D ) e. CC )
17		mulcl	|- ( ( B e. CC /\ D e. CC ) -> ( B x. D ) e. CC )
18		addcl	|- ( ( ( A x. D ) e. CC /\ ( B x. D ) e. CC ) -> ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) e. CC )
19	16 17 18	syl2an	|- ( ( ( A e. CC /\ D e. CC ) /\ ( B e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) e. CC )
20	19	anandirs	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ D e. CC ) -> ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) e. CC )
21	20	adantrl	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) e. CC )
22	13 15 21	add32d	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) + ( B x. C ) ) )
23		mulcom	|- ( ( B e. CC /\ D e. CC ) -> ( B x. D ) = ( D x. B ) )
24	23	ad2ant2l	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B x. D ) = ( D x. B ) )
25	24	oveq2d	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( A x. D ) ) + ( B x. D ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( A x. D ) ) + ( D x. B ) ) )
26	16	ad2ant2rl	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( A x. D ) e. CC )
27	17	ad2ant2l	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B x. D ) e. CC )
28	13 26 27	addassd	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( A x. D ) ) + ( B x. D ) ) = ( ( A x. C ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) )
29		mulcl	|- ( ( D e. CC /\ B e. CC ) -> ( D x. B ) e. CC )
30	29	ancoms	|- ( ( B e. CC /\ D e. CC ) -> ( D x. B ) e. CC )
31	30	ad2ant2l	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( D x. B ) e. CC )
32	13 26 31	add32d	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( A x. D ) ) + ( D x. B ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( A x. D ) ) )
33	25 28 32	3eqtr3d	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A x. C ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( A x. D ) ) )
34		mulcom	|- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
35	34	ad2ant2lr	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
36	33 35	oveq12d	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) + ( B x. C ) ) = ( ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( A x. D ) ) + ( C x. B ) ) )
37		addcl	|- ( ( ( A x. C ) e. CC /\ ( D x. B ) e. CC ) -> ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) e. CC )
38	12 30 37	syl2an	|- ( ( ( A e. CC /\ C e. CC ) /\ ( B e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) e. CC )
39	38	an4s	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) e. CC )
40		mulcl	|- ( ( C e. CC /\ B e. CC ) -> ( C x. B ) e. CC )
41	40	ancoms	|- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( C x. B ) e. CC )
42	41	ad2ant2lr	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( C x. B ) e. CC )
43	39 26 42	addassd	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( A x. D ) ) + ( C x. B ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( ( A x. D ) + ( C x. B ) ) ) )
44	22 36 43	3eqtrd	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( ( A x. C ) + ( B x. C ) ) + ( ( A x. D ) + ( B x. D ) ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( ( A x. D ) + ( C x. B ) ) ) )
45	4 11 44	3eqtrd	|- ( ( ( A e. CC /\ B e. CC ) /\ ( C e. CC /\ D e. CC ) ) -> ( ( A + B ) x. ( C + D ) ) = ( ( ( A x. C ) + ( D x. B ) ) + ( ( A x. D ) + ( C x. B ) ) ) )